Question

13．如圖所示，一玩滾軸溜冰的小孩（可視作質(zhì)點(diǎn)）質(zhì)量為m=30kg，他在左側(cè)平臺(tái)上滑行一段距離后以3m/s的速度從平臺(tái)右側(cè)水平滑出，而后恰能無(wú)碰撞地沿圓弧切線方向從A點(diǎn)進(jìn)入豎直面內(nèi)的粗糙圓弧軌道，并沿軌道下滑．A、B為圓弧兩端點(diǎn)，對(duì)應(yīng)圓心角為θ=53°，圓心O與平臺(tái)等高，當(dāng)小孩通過(guò)圓弧最低點(diǎn)時(shí)，對(duì)軌道的壓力大小為390N．（g=10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6），求：
（1）平臺(tái)距A點(diǎn)的高度h；
（2）小孩運(yùn)動(dòng)到圓軌道最低點(diǎn)B的速率v_B；
（3）如果在AB軌道下有一個(gè)高1m，傾角θ=45°的斜坡，那么小孩離開(kāi)B點(diǎn)后能否落到斜坡上？如果能，求他第一次落在斜坡上的位置距離B點(diǎn)有多遠(yuǎn)．如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）小球無(wú)碰撞進(jìn)入圓弧軌道，則小孩落到A點(diǎn)的速度方向沿A點(diǎn)的切線方向，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的速度夾角關(guān)系，運(yùn)用平行四邊形定則求出豎直方向上的分速度，進(jìn)而得到時(shí)間，有運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求得高度．
（2）根據(jù)小球在最低點(diǎn)對(duì)軌道的壓力，結(jié)合牛頓第二定律求出B點(diǎn)速度，
（3）小孩離開(kāi)B點(diǎn)后，做平拋運(yùn)動(dòng)，結(jié)合平拋運(yùn)動(dòng)知識(shí)求解即可．

解答 解：（1）由于小球無(wú)碰撞進(jìn)入圓弧軌道，即小球落到A點(diǎn)時(shí)速度方向與A點(diǎn)切線平行，即：$tan53°=\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$，解得：v_y=4m/s，
又因?yàn)槠綊佭\(yùn)動(dòng)豎直方向做勻加速運(yùn)動(dòng)，則：v_y=gt=4m/s，解得：t=0.4s，又由$h=\frac{1}{2}g{t}^{2}=\frac{1}{2}×10×0．{4}^{2}=0.8m$；
（2）根據(jù)幾何關(guān)系得：Rcos53°=h，解得：$R=\frac{h}{cos53°}=\frac{0.8}{0.6}=\frac{4}{3}m$，
當(dāng)小孩通過(guò)圓弧最低點(diǎn)時(shí)，對(duì)軌道的壓力大小為390N，對(duì)小孩受力分析由牛頓第二定律：$N-mg=m\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$，
代入數(shù)據(jù)：$390-30×10=30×\frac{{v}_{B}^{2}}{\frac{4}{3}}$，解得：v_B=2m/s；
（3）小孩離開(kāi)B點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)小球離開(kāi)B點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₁，落地點(diǎn)到C點(diǎn)距離為s
由 h=$\frac{1}{2}$gt₁² 得：t₁=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$=$\sqrt{\frac{2×1}{10}}$s=$\sqrt{\frac{1}{5}}$ s 
  s=v_B•t₁=2×$\sqrt{\frac{1}{5}}$ m=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$ m＜1m，所以小球離開(kāi)B點(diǎn)后能落在斜面上
假設(shè)小球第一次落在斜面上F點(diǎn)，BF長(zhǎng)為L(zhǎng)，小球從B點(diǎn)到F點(diǎn)的時(shí)間為t₂
 Lcosθ=v_Bt₂         ①
 Lsinθ=$\frac{1}{2}$gt₂²        ②
聯(lián)立①、②兩式得
t₂=0.4s
L=$\frac{{v}_{B}{t}_{2}}{cos45°}$=$\frac{2×0.4}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$m=0.8$\sqrt{2}$m=1.13m；
答：（1）平臺(tái)距A點(diǎn)的高度h為0.8m；（2）小孩運(yùn)動(dòng)到圓軌道最低點(diǎn)B的速率v_B為2m/s；（3）能落到斜坡上，第一次落在斜坡上的位置距離B點(diǎn)1.13m．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓周運(yùn)動(dòng)和平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，平拋運(yùn)動(dòng)可以分解為在水平方向上的勻速直線運(yùn)動(dòng)，和豎直方向上的自由落體運(yùn)動(dòng)來(lái)求解，牛頓第二定律在本類題目中應(yīng)用是常見(jiàn)的解題方法．