Question

如圖所示，豎直放置的質(zhì)量為4m，長為L的圓管頂端塞有一個質(zhì)量為m的彈性圓球，球和管間的滑動摩擦力和最大靜摩擦力大小均為4mg．圓管從下端離地面距離為H處自由落下，落地后向上彈起的速度與落地時速度大小相等．求：
（1）圓管彈起后圓球不致滑落，L應(yīng)滿足什么條件．
（2）圓管上升的最大高度是多少？
（3）圓管第二次彈起后圓球不致滑落，L又應(yīng)滿足什么條件？

Answer 1

解：（1）取豎直向下的方向為正方向．
球與管第一次碰地前瞬間速度，方向向下．
碰地后的瞬間管的速度，方向向上；球的速度，方向向下，
球相對于管的速度，方向向下．
碰后，管受重力及向下的摩擦力，加速度a_管=2g，方向向下，
球受重力及向上的摩擦力，加速度a_球=3g，方向向上，
球相對管的加速度a_相=5g，方向向上．
取管為參照物，則球與管相對靜止前，球相對管下滑的距離為：
要滿足球不滑出圓管，則有．
（2）設(shè)管從碰地到它彈到最高點所需時間為t₁（設(shè)球與管在這段時間內(nèi)摩擦力方向不變），則：
設(shè)管從碰地到與球相對靜止所需時間為t₂，
因為t₁＞t₂，說明球與管先達到相對靜止，再以共同速度上升至最高點，設(shè)球與管達到相對靜止時離地高度為h′，兩者共同速度為v′，分別為：

然后球與管再以共同速度v′作豎直上拋運動，再上升高度h″為
因此，管上升最大高度H’=h′+h″=
（3）當球與管第二次共同下落時，離地高為，球位于距管頂處，同題（1）可解得在第二次反彈中發(fā)生的相對位移．
答：（1）圓管彈起后圓球不致滑落，L應(yīng)滿足大于的條件．
（2）圓管上升的最大高度是；
（3）圓管第二次彈起后圓球不致滑落，L又應(yīng)滿足條件是離地高為，球位于距管頂處．
分析：（1）根據(jù)v₀²=2gH求出圓管底端落地前瞬間的速度．根據(jù)牛頓第二定律分別求出管反彈后，球和管的加速度，從而得知球相對于管的加速度，以管為參考系，根據(jù)速度位移公式求出球相對于管靜止時的相對位移，即可求解．
（2）根據(jù)管上升的加速度，以及相對加速度分別求出管從碰地到它彈到最高點所需時間和管從碰地到與球相對靜止所需的時間，比較兩個時間知道球與管的運動情況，再根據(jù)運動學公式求出管上升的最大高度．
（3）根據(jù)運動學公式，即可求解．
點評：本題的難點在于管和球的運動情況難于判斷，關(guān)鍵通過計算理清球和管的運動規(guī)律，結(jié)合牛頓第二定律和運動學公式進行求解．