Question

16．在某星球表面上，宇航員從離地4m高處以v₀=4m/s水平初速度拋出一小球，測(cè)得小球落地的水平位移為4m，然后用長4m的繩將小球系在O點(diǎn)，并在最高點(diǎn)以v₁=6m/s的水平速度拋出，如圖所示，小球質(zhì)量m=0.5kg，取地球表面處重力加速度g_o=10m/s²求：
（1）星球表面的重力加速度；
（2）若此星球密度與地球密度相等，此星球半徑與地球半徑之比；
（3）小球運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)正下方的速度；
（4）小球運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)正下方時(shí)繩子的拉力．

Answer 1

分析 （1）平拋運(yùn)動(dòng)在水平方向上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，在豎直方向上做自由落體運(yùn)動(dòng)，結(jié)合平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出星球表面的重力加速度．
（2）根據(jù)萬有引力等于重力求出星球與地球的質(zhì)量表達(dá)式，再得到密度表達(dá)式，結(jié)合密度相等求半徑之比．
（3）根據(jù)最高點(diǎn)的臨界速度$\sqrt{gr}$分析小球的運(yùn)動(dòng)情況，再由機(jī)械能守恒定律求速度．
（4）由牛頓第二定律求繩子的拉力．

解答 解：（1）設(shè)星球表面的重力加速度為g．小球做平拋運(yùn)動(dòng)，則有：
x=v₀t，
h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
聯(lián)立解得 g=8m/s²．
（2）對(duì)于任一天體，在天體表面有：
mg=$\frac{GmM}{{R}^{2}}$
則得天體的質(zhì)量為：M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$
天體的密度為：ρ=$\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{3g}{4πGR}$
據(jù)題，星球密度與地球密度相等，則得星球半徑與地球半徑之比：
$\frac{{R}_{星}}{{R}_{地}}$=$\frac{{g}_{星}}{{g}_{地}}$=$\frac{8}{10}$=$\frac{4}{5}$ 
（3）因v₁=6m/s＞$\sqrt{gr}$=$\sqrt{8×4}$=4$\sqrt{2}$m/s，所以小球以O(shè)點(diǎn)為圓心做圓周運(yùn)動(dòng)，由機(jī)械能守恒得：
$\frac{1}{2}m{v}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$+2mgr
解得小球運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)正下方的速度為：
v=$\sqrt{{v}_{1}^{2}+4gr}$=$\sqrt{{6}^{2}+4×8×4}$=$\sqrt{164}$≈12.8m/s
（4）小球運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)正下方時(shí)，有：T-mg=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
代入數(shù)據(jù)解得：T=24.5N
答：（1）星球表面的重力加速度是8m/s²；
（2）若此星球密度與地球密度相等，此星球半徑與地球半徑之比為4：5；
（3）小球運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)正下方的速度為12.8m/s；
（4）小球運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)正下方時(shí)繩子的拉力為24.5N．

點(diǎn)評(píng) 本題中根據(jù)萬有引力等于重力，是求解天體質(zhì)量的一種方法．要正確分析小球的運(yùn)動(dòng)情況，要注意若v₁=6m/s＜$\sqrt{gr}$，小球?qū)⑾茸銎綊佭\(yùn)動(dòng)，繩子繃緊后再做圓周運(yùn)動(dòng)．