Question

如圖所示，在傾角為θ = 30^o 的光滑斜面的底端有一個(gè)固定擋板D，小物體C靠在擋板D上，小物體B與C用輕質(zhì)彈簧拴接。當(dāng)彈簧處于自然長(zhǎng)度時(shí)，B在O點(diǎn)；當(dāng)B靜止時(shí)，B在M點(diǎn)，OM = l。在P點(diǎn)還有一小物體A，使A從靜止開(kāi)始下滑，A、B相碰后一起壓縮彈簧。A第一次脫離B后最高能上升到N點(diǎn)，ON = 1.5 l。B運(yùn)動(dòng)還會(huì)拉伸彈簧，使C物體剛好能脫離擋板D。A、B、C的質(zhì)量都是m，重力加速度為g。求
　�。�1）彈簧的勁度系數(shù)；
　�。�2）彈簧第一次恢復(fù)到原長(zhǎng)時(shí)B速度的大�。�
　�。�3）M、P之間的距離。

　　　　　　　　　

Answer 1

　解：（1）B靜止時(shí)，彈簧形變量為l，彈簧產(chǎn)生彈力F=kl
　　B物體受力如圖所示，
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　根據(jù)物體平衡條件得
　　kl =mgsinθ
　　得彈簧的勁度系數(shù)k=
　　（2）當(dāng)彈簧第一次恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)A、B恰好分離，設(shè)此時(shí)A、B速度的大小為v₃。
　　對(duì)A物體，從A、B分離到A速度變?yōu)?的過(guò)程，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得
　　
　　此過(guò)程中A物體上升的高度
　　得
　�。�3）設(shè)A與B相碰前速度的大小為v₁，A與B相碰后速度的大小為v₂，M、P之間距離為x。對(duì)A物體，從開(kāi)始下滑到A、B相碰的過(guò)程，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得
　　
　　A與B發(fā)生碰撞，根據(jù)動(dòng)量守恒定律得 m v₁=（m+m）v₂
　　設(shè)B靜止時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能為E_P，從A、B開(kāi)始?jí)嚎s彈簧到彈簧第一次恢復(fù)原長(zhǎng)的過(guò)程，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得
　　
　　B物體的速度變?yōu)?時(shí)，C物體恰好離開(kāi)擋板D，此時(shí)彈簧的伸長(zhǎng)量也為l，彈簧的彈性勢(shì)能也為E_P。對(duì)B物體和彈簧，從A、B分離到B速度變?yōu)?的過(guò)程，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得
　　
　　解得x=9l
　　【說(shuō)明】這是一道力學(xué)綜合題。試題主要考查了物體的平衡、機(jī)械能守恒定律、動(dòng)量守恒定律等知識(shí)�？疾榱藢W(xué)生的推理能力、應(yīng)用能力。
　　著重要分析物理情景。靜止、碰撞、分離、C物體恰好脫離D等狀態(tài)對(duì)應(yīng)的受力、能量，都是解題時(shí)要重點(diǎn)分析的所在。
　　尤其是A、B分離時(shí)的狀態(tài)，是解決本題后兩問(wèn)的關(guān)鍵。A與B分離的條件是A、B間的相互作用力（彈力）等于零。在分離前，兩者一起運(yùn)動(dòng)，速度和加速度都相同，A和B整體沿斜面方向受彈簧彈力和重力沿斜面方向分力而做減速運(yùn)動(dòng)，隨彈簧形變的減小，加速度的大小也隨之減小，B對(duì)A的作用力也減小，直到作用力變?yōu)榱銜r(shí)，將要分離，分離時(shí)A的加速度大小為gsinθ，此時(shí)B的加速度大小也應(yīng)為gsinθ，所以彈簧處于自然狀態(tài)，即A與B在彈簧處于自然長(zhǎng)度時(shí)分離。此后A和B的速度和加速度就不相同了。
　　第（3）問(wèn)中，對(duì)學(xué)生使用機(jī)械能守恒定律時(shí)要確定研究對(duì)象、確定始末狀態(tài)，提出了較高的要求，目的是希望學(xué)習(xí)中對(duì)規(guī)律的使用要規(guī)范。
　　對(duì)A物體，從開(kāi)始下滑到A、B相碰的過(guò)程，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得
　　
　　對(duì)A、B和彈簧，從A、B開(kāi)始?jí)嚎s彈簧到彈簧第一次恢復(fù)原長(zhǎng)的過(guò)程，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得
　　
　　對(duì)B物體和彈簧，從A、B分離到B速度變?yōu)?的過(guò)程，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得
　　

　　本題難度：難