Question

我國“嫦娥一號”已成功飛天，漫游太陽系的旅行已經(jīng)開始進(jìn)行，考察向太陽系外發(fā)射空間探測器的方案時(shí)，曾設(shè)想借助探測器與小行星的碰撞而使探測器飛出太陽系去探鍘地球外生物。方案如下：

若質(zhì)量為m₁的探測器和某個質(zhì)量為m₂的小行星都繞太陽在同一平面內(nèi)做圓周運(yùn)動。已知：，小行星運(yùn)行的速度為v₀，軌道半徑為探測器的軌道半徑的4倍。當(dāng)探測器在其運(yùn)行的圓軌道適當(dāng)位置時(shí)，點(diǎn)燃探測器上的噴氣發(fā)動機(jī)，經(jīng)過極短的時(shí)間后立即關(guān)閉，從而使探測器獲得所需的速度，沿橢圓軌道運(yùn)動到小行星的軌道時(shí)正好位于小行星的前緣，如圖中的b點(diǎn)所示，此時(shí)探測器速度大小變?yōu)辄c(diǎn)火后所獲得速度的0.125倍，方向與行星在該處的速度方向相同，正好可被小行星碰撞。假設(shè)碰撞過程中不損失機(jī)械能，不計(jì)探側(cè)器燃燒損失的質(zhì)量，只計(jì)探測器、小行星與太陽之間的萬有引力，不計(jì)其他的萬有引力。以無窮遠(yuǎn)處為零勢能，則距太陽球心為r，質(zhì)量為m的物體的引力勢能為（其中M為太陽的質(zhì)量，G為萬有引力常量，）．

Answer 1

解析：設(shè)探測器軌道半徑為R，速度為v，根據(jù)萬有引力定律有：①

對小行星根據(jù)萬有引力定律有：  ②，解方程得： ③，

設(shè)探測器點(diǎn)火加速后的在a點(diǎn)速度為v₁到達(dá)b點(diǎn)速度為v₂，由a點(diǎn)飛到b點(diǎn)過程有機(jī)械能守恒：  ④，

在b點(diǎn)和小行星相碰過程設(shè)碰后行星速度為v₃ 探測器速度為v₄由動量守恒

     ⑤
由能量守恒：……………………⑥

設(shè)碰后探測器恰好能飛到無窮遠(yuǎn)處由機(jī)械能守恒有  ⑦

解方程組得：。