Question

【題目】如圖甲所示，半徑為r的金屬細圓環(huán)水平放置，環(huán)內存在豎直向上的勻強磁場，磁感應強度B隨時間t的變化關系為（k>0，且為已知的常量）。

（1）已知金屬環(huán)的電阻為R。根據(jù)法拉第電磁感應定律，求金屬環(huán)的感應電動勢和感應電流I；

（2）麥克斯韋電磁理論認為：變化的磁場會在空間激發(fā)一種電場，這種電場與靜電場不同，稱為感生電場或渦旋電場。圖甲所示的磁場會在空間產生如圖乙所示的圓形渦旋電場，渦旋電場的電場線與金屬環(huán)是同心圓。金屬環(huán)中的自由電荷在渦旋電場的作用下做定向運動，形成了感應電流。渦旋電場力F充當非靜電力，其大小與渦旋電場場強E的關系滿足。如果移送電荷q時非靜電力所做的功為W，那么感應電動勢。

圖甲 圖乙

a．請推導證明：金屬環(huán)上某點的場強大小為；

b．經典物理學認為，金屬的電阻源于定向運動的自由電子與金屬離子（即金屬原子失去電子后的剩余部分）的碰撞。在考慮大量自由電子的統(tǒng)計結果時，電子與金屬離子的碰撞結果可視為導體對電子有連續(xù)的阻力，其大小可表示為（b>0，且為已知的常量）。已知自由電子的電荷量為e，金屬環(huán)中自由電子的總數(shù)為N。展開你想象的翅膀，給出一個合理的自由電子的運動模型，并在此基礎上，求出金屬環(huán)中的感應電流I。

（3）宏觀與微觀是相互聯(lián)系的。若該金屬單位體積內自由電子數(shù)為n，請你在（1）和（2）的基礎上推導該金屬的電阻率ρ與n、b的關系式。

Answer 1

【答案】（1） （2）a. 見解析；b. （3）

【解析】試題分析（1）根據(jù)法拉第電磁感應定律和歐姆定律即可求解感應電流；（2）根據(jù)電流的定義式，及自由電子在電場力作用下沿環(huán)運動的情況求出環(huán)形電流的表達式；（3）利用前兩問的結論，結合電阻定律即可求出電阻率。

（1）根據(jù)法拉第電磁感應定律有：

根據(jù)歐姆定律有：

（2）a．設金屬環(huán)中自由電子的電荷量為e。一個自由電子在電場力的作用下沿圓環(huán)運動一周

電場力做的功：

解得：

又因為：

所以：

b．假設電子以速度v沿金屬環(huán)做勻速圓周運動，導體對電子的阻力。

沿切線方向，根據(jù)牛頓第二定律有：

又因為：

解得：

電子做勻速圓周運動的周期

則

（3）由（1）和（2）中的結論可知

設金屬導線的橫截面積為S，則有

所以

又因為

解得：