Question

如圖所示，圓心在原點(diǎn)、半徑為R的圓將xOy平面分為兩個(gè)區(qū)域，在圓內(nèi)區(qū)域Ⅰ（r≤R）和圓外區(qū)域Ⅱ（r＞R）分別存在兩個(gè)磁場(chǎng)方向均垂直于XOY平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)；垂直于XOY平面放置了兩塊平面熒光屏，其中熒光屏甲平行于X軸放置在Y軸坐標(biāo)為-2.22R的位置，熒光屏乙平行于Y軸放置在X軸坐標(biāo)為3.5R的位置�，F(xiàn)有一束質(zhì)量為m、電荷量為q（q＞0）、動(dòng)能為E₀的粒子從坐標(biāo)為（-R，0）的A點(diǎn)沿X軸正方向射入?yún)^(qū)域Ⅰ，最終打在熒光屏甲上，出現(xiàn)坐標(biāo)為（0.4R,  -2.2R，）的亮點(diǎn)。若撤去圓外磁場(chǎng)，粒子打在熒光屏甲上，出現(xiàn)坐標(biāo)為（0，-2.2R）的亮點(diǎn)M。此時(shí)，若將熒光屏甲沿Y軸負(fù)方向平移，則亮點(diǎn)的X軸坐標(biāo)始終保持不變。（不計(jì)粒子重力影響）

（1）求在區(qū)域Ⅰ和Ⅱ中粒子運(yùn)動(dòng)速度v₁、v₂　的大小。
（2）求在區(qū)域Ⅰ和Ⅱ中磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁、B₂的大小和方向。
（3）若上述兩個(gè)磁場(chǎng)保持不變，熒光屏仍在初始位置，但從A點(diǎn)沿X軸正方向射入?yún)^(qū)域Ⅰ的粒子束改為質(zhì)量為m、電荷量為-q、動(dòng)能為3E₀的粒子，求熒光屏上的亮點(diǎn)的位置。

Answer 1

試題分析：（1）由于在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)洛侖茲力不做功，所以在區(qū)域Ⅰ和Ⅱ中粒子運(yùn)動(dòng)速度大小就是在點(diǎn)入射時(shí)初始速度大小，由可得
                 ①             （2分）
（1）粒子在區(qū)域Ⅰ中運(yùn)動(dòng)了四分之一圓周后，從點(diǎn)沿軸負(fù)方向進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅱ的磁場(chǎng)

如圖所示，圓周運(yùn)動(dòng)的圓心是點(diǎn)，半徑為
（1）    ②       （2分）
由可得
            ③     （2分）
方向垂直平面向外。    ④            （1分）
粒子進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅱ后做半徑為的圓周運(yùn)動(dòng)，由
可得
                ⑤
圓周運(yùn)動(dòng)的圓心坐標(biāo)為（，），圓周運(yùn)動(dòng)軌跡方程為

將點(diǎn)的坐標(biāo)（，）代入上式，可得
      ⑥             （2分）
利用⑤、⑥式得
  ⑦    （2分）
方向垂直平面向里。         ⑧              （1分）
（3）

如圖所示，粒子先在區(qū)域Ⅰ中做圓周運(yùn)動(dòng)。由可知，運(yùn)動(dòng)速度為
類(lèi)似于⑤式，半徑為 ⑨ （2分）
由圓心的坐標(biāo)（，）可知，與的夾角為。通過(guò)分析如圖的幾何關(guān)系，粒子從點(diǎn)穿出區(qū)域Ⅰ的速度方向與軸正方向的夾角為⑩   （3分）
粒子進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅱ后做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為           （2分）
其圓心的坐標(biāo)為（，）,即（，），說(shuō)明圓心恰好在熒光屏乙上。所以，亮點(diǎn)將出現(xiàn)在熒光屏乙上的點(diǎn)，其軸坐標(biāo)為
            （3分）
點(diǎn)評(píng)：根據(jù)粒子的坐標(biāo)，定出圓心，并畫(huà)出運(yùn)動(dòng)軌道，由幾何關(guān)系來(lái)確定半徑，從而求出磁感應(yīng)強(qiáng)度大小及判定其方向．值得注意的是：磁場(chǎng)方向相反時(shí)粒子運(yùn)動(dòng)圓弧所對(duì)應(yīng)的圓心在一條直線上．