Question

【題目】某工地某一傳輸工件的裝置可簡化為如圖所示的情形，AB為一段足夠長的曲線軌道，BC為一段足夠長的水平軌道，CD為一段圓弧軌道，圓弧半徑r=1m，三段軌道均光滑。一長為L=2m、質量為M=1kg的平板小車最初停在BC軌道的最左端，小車上表面剛好與AB軌道相切，且與CD軌道最低點處于同一水平面。一可視為質點、質量為m=2kg的工件從距AB軌道最低點h高處沿軌道自由滑下，滑上小車后帶動小車也向右運動，小車與CD軌道左端碰撞(碰撞時間極短)后即被粘在C處。工件只有從CD軌道最高點飛出，才能被站在臺面DE上的工人接住。工件與小車的動摩擦因數為μ=0.5，取g=10m/s2，

(1)若h=2.8m，則工件滑到圓弧底端B點時對軌道的壓力為多大？

(2)要使工件能被站在臺面DE上的工人接住，求h的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】(1)工件從起點滑到圓弧軌道底端B點,設到B點時的速度為vB，根據動能定理：

工件做圓周運動，在B點，由牛頓第二定律得：

由①②兩式可解得：N=40N

由牛頓第三定律知,工件滑到圓弧底端B點時對軌道的壓力為N′=N=40N

(2)①由于BC軌道足夠長,要使工件能到達CD軌道,工件與小車必須能達共速,設工件剛滑上小車時的速度為v0,工件與小車達共速時的速度為v1，假設工件到達小車最右端才與其共速，規(guī)定向右為正方向，則對于工件與小車組成的系統(tǒng)，由動量守恒定律得：

mv0=(m+M)v1

由能量守恒定律得：

對于工件從AB軌道滑下的過程，由機械能守恒定律得：

代入數據解得：h1=3m.

②要使工件能從CD軌道最高點飛出,h1=3m為其從AB軌道滑下的最大高度,設其最小高度為h′,剛滑上小車的速度為v′0,與小車達共速時的速度為v′1,剛滑上CD軌道的速度為v′2，規(guī)定向右為正方向，由動量守恒定律得：

mv′0=(m+M)v′1…⑥

由能量守恒定律得：

工件恰好滑到CD軌道最高點，由機械能守恒定律得：

工件在AB軌道滑動的過程，由機械能守恒定律得：

聯(lián)立。⑥⑦⑧⑨,代入數據解得：h′=m

綜上所述,要使工件能到達CD軌道最高點,應使h滿足： m<h3m.