Question

10．冥王星繞太陽的公轉(zhuǎn)軌道是個(gè)橢圓，公轉(zhuǎn)周期為T₀，質(zhì)量為m，其近日點(diǎn)A到太陽的距離為a，遠(yuǎn)日點(diǎn)C到太陽的距離為b，半短軸的長(zhǎng)度為c，A、C兩點(diǎn)的曲率半徑均為ka（通過該點(diǎn)和曲線上緊鄰該點(diǎn)兩側(cè)的兩點(diǎn)作一圓，在極限情況下，這個(gè)圓就叫做該點(diǎn)的曲率圓，其半徑叫做該點(diǎn)的曲率半徑），如圖所示．若太陽的質(zhì)量為M，萬有引力常量為G，忽略其他行星對(duì)它的影響及太陽半徑的大小，則（　�。�

• A． 冥王星從A→B所用的時(shí)間小于$\frac{{T}_{0}}{4}$
• B． 冥王星從C→D→A的過程中，萬有引力對(duì)它做的功為$\frac{1}{2}$GMmk（$\frac{2}{a}$-$\frac{a}{^{2}}$）
• C． 冥王星從C→D→A的過程中，萬有引力對(duì)它做的功為$\frac{1}{2}$GMmk（$\frac{1}{a}$-$\frac{a}{^{2}}$）
• D． 冥王星在B點(diǎn)的加速度為$\frac{4GM}{{{{（b-a）}^2}+4{c^2}}}$

Answer 1

分析 熟記理解開普勒的行星運(yùn)動(dòng)三定律：
第一定律：所有的行星圍繞太陽運(yùn)動(dòng)的軌道都是橢圓，太陽處在所有橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上．
第二定律：對(duì)每一個(gè)行星而言，太陽行星的連線在相同時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等．
第三定律：所有行星的軌道的半長(zhǎng)軸的三次方跟公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值都相等．
根據(jù)功能關(guān)系知萬有引力做功．

解答 解：A、公轉(zhuǎn)周期為T₀，冥王星從A→C的過程中所用的時(shí)間是0.5T₀，
由于冥王星從A→B→C的過程中，速率逐漸變小，從A→B與從B→C的路程相等，
所以冥王星從A→B所用的時(shí)間小于$\frac{{T}_{0}}{4}$，故A正確；
BC、萬有引力對(duì)它做的功等于勢(shì)能的減小量，等于動(dòng)能的增加量W=$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$，根據(jù)萬有引力充當(dāng)向心力知G$\frac{Mm}{{a}^{2}}$=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{ka}$，GM$\frac{m}{^{2}}$=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{ka}$，聯(lián)立解得萬有引力對(duì)它做的功W=$\frac{1}{2}$GMmk（$\frac{1}{a}$-$\frac{a}{^{2}}$），故C正確，B錯(cuò)誤；
D、設(shè)B到太陽的距離為x，則x²=c²$+\frac{（b-a）^{2}}{4}$，根據(jù)萬有引力充當(dāng)向心力知$\frac{GMm}{{x}^{2}}$=ma，知冥王星在B點(diǎn)的加速度為a=$\frac{4GM}{{{{（b-a）}^2}+4{c^2}}}$，故D正確；
故選：ACD

點(diǎn)評(píng) 正確理解開普勒的行星運(yùn)動(dòng)三定律是解答本題的關(guān)鍵，會(huì)根據(jù)功能關(guān)系和萬有引力充當(dāng)向心力求解動(dòng)能變化得引力做功多少．