Question

4．“嫦娥一號(hào)”衛(wèi)星在距月球表面高度為h處做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T，已知月球半徑為R，引力常量為G（球的體積公式V=$\frac{4}{3}$πR³，其中R為球的半徑）求：
（1）月球的質(zhì)量M；
（2）月球的密度ρ；
（3）月球表面的重力加速度g．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，結(jié)合嫦娥一號(hào)衛(wèi)星的周期和軌道半徑求出月球的質(zhì)量．
（2）根據(jù)月球的質(zhì)量以及月球的體積求出月球的密度．
（3）根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力求出月球表面的重力加速度．

解答 解：（1）根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力得，$G\frac{Mm}{（R+h）^{2}}=m（R+h）\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，
解得月球的質(zhì)量M=$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{G{T}^{2}}$．
（2）月球的密度ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{G{T}^{2}}}{\frac{4π{R}^{3}}{3}}$=$\frac{3π（R+h）^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$．
（3）月球表面萬(wàn)有引力等于重力，根據(jù)$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$，
又M=$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{G{T}^{2}}$．
解得g=$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{{R}^{2}{T}^{2}}$．
答：（1）月球的質(zhì)量M為$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{G{T}^{2}}$；
（2）月球的密度ρ為$\frac{3π（R+h）^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$；
（3）月球表面的重力加速度g為$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{{R}^{2}{T}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握萬(wàn)有引力定律的兩個(gè)重要理論：1、萬(wàn)有引力等于重力，2、萬(wàn)有引力提供向心力，并能靈活運(yùn)用．