Question

如圖所示，在y軸豎直向上的直角坐標系中，電場、磁場的分布情況如下：
①在o＜y＜α口的區(qū)域內(nèi)，存在沿x軸負向的勻強電場和垂直xoy平面向里的勻強磁場；
②在y＜o區(qū)域內(nèi)，存在沿y軸正向的勻強電場；
③在y＜y₁區(qū)域內(nèi)，同時存在垂直xoy平面向外的勻強磁場；
各區(qū)域的電場、磁場強弱相同．一質(zhì)量為m、電量為q帶正電的小球，從xoy平面內(nèi)的P點以初速v₀向右拋出．小球進入0＜y＜α的復(fù)合場區(qū)沿直線運動，恰好過坐標原點，方向如圖．如果小球能夠第二次到達O點，m、α、v₀、q、g為已知量，求：
（1）p點坐標；
（2）磁感應(yīng)強度B；
（3）小球兩次通過O點經(jīng)歷的時間．

Answer 1

分析：（1）小球從P點拋出后先做平拋運動，進入復(fù)合場后做勻速直線運動，由于小球恰好通過原點O，且速度方向與x軸成45°，運用運動的分解法可求得小球剛進入復(fù)合場時的豎直分速度與水平分速度相等，由運動學(xué)公式即可求得P點的坐標．
（2）小球在0＜y＜α區(qū)域沿直線運動，一定是勻速直線運動，合力為零，作出力圖，由平衡條件和洛倫茲力公式列式，可求得B．
（3）小球在y＜0區(qū)域內(nèi)運動如圖丙所示，先作勻速直線運動，后作勻速圓周運動，再做直線運動至O點，分段求時間，即可求得總時間．磁場中，由牛頓第二定律和圓周運動公式求得周期，根據(jù)軌跡的圓心角求時間．

解答：解：（1）帶電小球進入0＜y＜α區(qū)域時，速度方向如圖甲，

由此可知，v_y=v₀
小球由P點拋出做平拋運動．
  v_y=gt
由①②可得t=

v0

g

所以，水平位移s=v₀t=

v 2 0

g

垂直位移h=

v 2 y

2g

=

v 2 0

2g

由小球沿直線運動可知，小球進入此區(qū)域時的坐標為（-α，α）．
故P點坐標為[-(

v 2 0

g

+a)，(

v 2 0

2g

+a)]⑤
（2）小球在0＜y＜α區(qū)域沿直線運動，一定是勻速直線運動，受力如圖乙所示
  qE=mg    ⑥
由qvB=

2

mg和v=

2

v0⑦
解得B=

mg

qv0

⑧
（3）小球在y＜0區(qū)域內(nèi)運動如圖丙所示，先作勻速直線運動，后作勻速圓周運動，再做直線運動至O點，設(shè)其運動時間分別為t₁、t₂、t₃，⑨

由L_oc=L_ob=R，qvB=

mv2

R

，和L_ob=vt₁ ⑩
得t₁=

v0

g

（11）
T=

2πm

qB

=

2πv0

g

 （12）
t₂=

3

4

t=

3πv0

2g

 （13）
分析知t₃=t₁=

v0

g

，兩次經(jīng)過O點歷時間為
t=2t₁+t₂=（2+

3π

2

）

v0

g

（14）
答：
（1）P點坐標為[-(

v 2 0

g

+a)，(

v 2 0

2g

+a)]．
（2）磁感應(yīng)強度B是

mg

qv0

；
（3）小球兩次通過O點經(jīng)歷的時間為（2+

3π

2

）

v0

g

．

點評：對于帶電粒子在電磁場中運動的問題，應(yīng)運用力學(xué)的基本方法分析粒子的受力情況，確定其運動情況，再選擇相應(yīng)的物理規(guī)律求解．