Question

3．如圖所示，在一個(gè)傾角為θ的光滑斜面底端有一個(gè)擋板，物體B和物體C用勁度系數(shù)為k的輕彈簧連接，靜止在斜面上，將一個(gè)物體A從距離物體B為H處由靜止釋放，沿斜面下落后與物體B碰撞，碰撞后A與B黏合在一起并立刻向下運(yùn)動(dòng)，在以后的運(yùn)動(dòng)中A、B不再分離．已知物體A、B、C的質(zhì)量均為M，重力加速度為g，忽略空氣阻力．
（1）求A與B碰撞后瞬間的速度大�。�
（2）A和B一起運(yùn)動(dòng)達(dá)到最大速度時(shí)，物體C對水平地面的壓力為多大？
（3）開始時(shí)，物體A從距B多大距離由靜止釋放時(shí)，在以后的運(yùn)動(dòng)中才能使物體C恰好離開擋板．

Answer 1

分析 （1）由機(jī)械能守恒定律求出A與B碰前的速度，然后由動(dòng)量守恒定律求出碰后瞬間的共同速度．
（2）和B一起運(yùn)動(dòng)達(dá)到最大速度時(shí)合力為零，可得到彈簧的彈力大小，再對C研究，由平衡條件及牛頓第三定律求出C對地面的壓力．
（3）物體C恰好離開擋板時(shí)，彈簧的拉力應(yīng)等于其重力沿斜面向下的分力，由機(jī)械能守恒定律求出A的下落高度．

解答 解：（1）設(shè)物體A與B碰前速度為v₁，對物體A，由機(jī)械能守恒定律得：
MgHsinθ=$\frac{1}{2}$Mv₁²，
解得：v₁=$\sqrt{2gHsinθ}$．
設(shè)A、B碰撞后共同速度為v₂，取向下為正方向，則由動(dòng)量守恒定律得：
 Mv₁=2Mv₂，
解得：v₂=$\sqrt{\frac{1}{2}gHsinθ}$．
（2）當(dāng)A、B達(dá)到最大速度時(shí)，A、B所受合外力為零，設(shè)此時(shí)彈力為F，對A、B由平衡條件得：F=2Mgsinθ．
設(shè)地面對C的支持力為N，對ABC整體，因加速度為零，所以根據(jù)牛頓第二定律得：N=3Mgsinθ．
由牛頓第三定律得C對地面的壓力大小為：N′=3Mgsinθ．
（3）設(shè)物體A從距B的高度h處滑下時(shí)才能使物體C恰好離開擋板，根據(jù)（1）的結(jié)果，
A、B碰撞后共同速度為：v₂=$\sqrt{\frac{1}{2}ghsinθ}$．
當(dāng)C剛好離開地面時(shí)，彈簧的彈力為：F=Mgsinθ
由胡克定律得彈簧伸長量為：x=$\frac{F}{k}$=$\frac{Mgsinθ}{k}$．
根據(jù)對稱性，當(dāng)A、B一起上升到彈簧伸長為x時(shí)彈簧的勢能與A、B碰撞后瞬間的彈性勢能相等．則對A、B一起運(yùn)動(dòng)到C剛好離開地面的過程中，由機(jī)械能守恒得：
$\frac{1}{2}$×2Mv₂²=2Mgsinθ•2x
聯(lián)立以上方程解得：h=$\frac{8Mgsinθ}{k}$
答：（1）A與B碰撞后瞬間的速度大小為$\sqrt{\frac{1}{2}gHsinθ}$．．
（2）A和B一起運(yùn)動(dòng)達(dá)到最大速度時(shí)，物體C對水平地面的壓力為3Mgsinθ．
（3）開始時(shí)，物體A從距B的距離為$\frac{8Mgsinθ}{k}$處由靜止釋放時(shí)，在以后的運(yùn)動(dòng)中才能使物體C恰好離開擋板．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵要分析清楚物體的運(yùn)動(dòng)過程，把握C離開擋板時(shí)的臨界條件，應(yīng)用動(dòng)量守恒定律、機(jī)械能守恒定律、牛頓運(yùn)動(dòng)定律、平衡條件即可正確解題．