Question

10．如圖（甲）所示，磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場垂直于紙面，在紙面內(nèi)固定一條以O(shè)點為圓心、半徑為L的圓弧形金屬導(dǎo)軌，長也為L的導(dǎo)體棒OA繞O點以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動，棒的A端與導(dǎo)軌接觸良好，OA、導(dǎo)軌、電阻R構(gòu)成閉合電路．

（1）試根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律E=n$\frac{△ϕ}{△t}$，證明導(dǎo)體棒產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢E=$\frac{1}{2}$BωL²．
（2）某同學(xué)設(shè)計了一種帶有閃爍燈的自行車后輪，如圖（乙）所示．車輪與輪軸之間均勻地連接4根金屬條，每根金屬條中間都串接一個小燈，阻值為R=0.3Ω并保持不變，車輪半徑r₁=0.4m，輪軸半徑可以忽略．車架上固定一個強磁鐵，可形成圓心角為θ=60°的扇形勻強磁場區(qū)域，磁感應(yīng)強度B=2.0T，方向如圖（乙）所示．若自行車前進時，后輪順時針轉(zhuǎn)動的角速度恒為ω=10rad/s，不計其它電阻和車輪厚度．求金屬條ab進入磁場時，ab中感應(yīng)電流的大小和方向．
（3）上問中，已知自行車牙盤半徑r₂=12cm，飛輪半徑r₃=6cm，如圖（丙）所示．若該同學(xué)騎車時每分鐘踩踏腳板60圈，車輛和人受到外界阻力的大小恒為10N，他騎車10分鐘的時間內(nèi)一共需要對自行車做多少功？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律證明；
（2）根據(jù)右手定則判定感應(yīng)電流的方向，由法拉第電磁感應(yīng)定律求感應(yīng)電動勢的大小從而得出感應(yīng)電流的大��；
（3）根據(jù)能量守恒定律求解動力所做的功，關(guān)鍵是求出焦耳熱；

解答 解：（1）設(shè)金屬棒OA在△t時間內(nèi)掃過的面積為△S，則：$△S=\frac{1}{2}•θ{L^2}=\frac{1}{2}ω{L^2}△t$
磁通改變量為：$△ϕ=B•△S=\frac{1}{2}Bω{L^2}•△t$
根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律得到為：$E=n\frac{△ϕ}{△t}=\frac{1}{2}Bω{L^2}$
（2）根據(jù)右手定則知：ab中的電流方向為b→a，ab相當(dāng)于電源，電動勢：
$E=\frac{1}{2}Bω{L^2}=\frac{1}{2}×2.0×10×{0.4^2}$=1.6V               
電路總電阻為：${R_總}=\frac{R}{3}+R=\frac{4R}{3}$=0.4Ω                                     
通過ab中的電流：$I=\frac{E}{R_總}=\frac{1.6}{0.4}$=4A                               
（3）后輪轉(zhuǎn)速n=2r/s，后輪角速度為：ω=4π rad/s，
車速為：v=r₁ω=1.6πm/s                                              
電動勢為：$E=\frac{1}{2}Bωr_1^2$=0.64π V，
總的電功率為：P_總=$\frac{E^2}{R_總}$=$\frac{128}{125}{π^2}$W             
總的焦耳熱為：Q=P_總（$\frac{2}{3}$t）=409.6π²=4.04×10³J                             
克服阻力做功為：W_f=F_f•s=F_f•vt=3.016×10⁴J                            
一共需要做功為：W_總=W_f+Q=3.42×10⁴J；                                  
答：（1）證明如上所述；
（2）金屬條ab進入磁場時，ab中感應(yīng)電流的大小4A和方向b→a；
（3）騎車10分鐘的時間內(nèi)一共需要對自行車做3.42×10⁴J．

點評 本題考查了電磁感應(yīng)和恒定電路的知識，設(shè)計問題從容易入手，層層遞進，較好地把握了試題的難度和區(qū)分度．