Question

20．如圖，在邊長為L的等邊三角形ACD區(qū)域內(nèi)，存在垂直于所在平面向里的勻強磁場．大量的質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子以相同速度（速度大小未確定）沿垂直于CD的方向射入磁場，經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后三條邊均有粒子射出，其中垂直于AD邊射出的粒子在磁場中運動的時間為t₀．不計粒子的重力及粒子間的相互作用．求：
（1）磁場的磁感應強度大�。�
（2）要確保粒子能從CD邊射出，射入的最大速度；
（3）AC、AD邊上可能有粒子射出的范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)幾何關(guān)系求出粒子垂直AD射出時圓心角的大小，結(jié)合周期公式和運動的時間求出磁感應強度的大�。�
（2）當軌跡圓與AC、AD都相切時，粒子能從CD邊射出，半徑最大，速度為最大值，根據(jù)幾何關(guān)系求出半徑，結(jié)合半徑公式求出最大速度．
（3）當軌跡圓與AC相切時，從AC邊射出的粒子距C最遠，當軌跡圓與AD邊的交點F恰在圓心O正上方時，射出的粒子距D點最遠，結(jié)合幾何 關(guān)系求出AC、AD邊上可能有粒子射出的范圍．

解答 解：（1）洛倫茲力提供向心力，有：$qvB=m\frac{v^2}{r}$
周期$T=\frac{2πr}{v}=\frac{2πm}{qB}$
當粒子垂直AD邊射出時，根據(jù)幾何關(guān)系有：圓心角為60°  
 ${t_0}=\frac{1}{6}T$
聯(lián)立解得$B=\frac{πm}{{3q{t_0}}}$．
（2）當軌跡圓與AC、AD都相切時，粒子能從CD邊射出，半徑最大，速度為最大值，此時       
$r=\frac{L}{2}sin{60^o}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}L$
根據(jù)$qvB=m\frac{v^2}{r}$得，
$r=\frac{mv}{qB}$，解得$v=\frac{{\sqrt{3}πL}}{{12{t_0}}}$
所以，粒子射入的速度應滿足$v≤\frac{{\sqrt{3}πL}}{{12{t_0}}}$
（3）由（2）知，當軌跡圓與AC相切時，從AC邊射出的粒子距C最遠
故有粒子射出的范圍為CE段，${x_{CE}}=\frac{L}{2}cos60°=\frac{L}{4}$
當軌跡圓與AD邊的交點F恰在圓心O正上方時，射出的粒子距D點最遠．
故有粒子射出的范圍為DF段，${x_{DF}}=\frac{r}{{sin{{60}^o}}}=\frac{L}{2}$．
答：（1）磁場的磁感應強度大小為$\frac{πm}{3q{t}_{0}}$；
（2）要確保粒子能從CD邊射出，射入的最大速度為$\frac{\sqrt{3}πL}{12{t}_{0}}$；
（3）AC、AD邊上可能有粒子射出的范圍為CE段和DF段，${x}_{CE}=\frac{L}{4}$、${x}_{DF}=\frac{L}{2}$．

點評 本題考查了帶電粒子在磁場中的運動，關(guān)鍵作出運動的軌跡，抓住臨界狀態(tài)，結(jié)合半徑公式和周期公式進行求解，難度中等．