Question

16．如圖所示，一質量為m=2kg的滑塊從半徑為R=0.2m的光滑四分之一圓弧軌道的頂端A處由靜止滑下，A點和圓弧對應的圓心O點等高，圓弧的底端B與水平傳送帶平滑相接．已知傳送帶勻速運行的速度為v₀=4m/s，B點到傳送帶右端C點的距離為L=2m．當滑塊滑到傳送帶的右端C時，其速度恰好與傳送帶的速度相同．（g=10m/s²），求：
（1）滑塊到達底端B時對軌道的壓力；
（2）滑塊與傳送帶間的動摩擦因數μ；
（3）此過程中，由于滑塊與傳送帶之間的摩擦而產生的熱量Q．

Answer 1

分析 （1）滑塊從A運動到B的過程中，只有重力做功，根據機械能守恒定律求出滑塊到達底端B時的速度．滑塊經過B時，由重力和軌道的支持力的合力提供向心力，根據牛頓運動定律求解滑塊對軌道的壓力；
（2）滑塊滑上傳送帶后向右做勻加速運動，由題，滑塊滑到傳送帶的右端C時，其速度恰好與傳送帶的速度相同，根據動能定理或牛頓第二定律、運動學公式求解動摩擦因數μ；
（3）根據運動學公式求出滑塊從B到C的運動時間，即可求出此時間內傳送帶的位移，得到滑塊與傳送帶的相對位移，摩擦而產生的熱量Q等于滑動摩擦力與相對位移大小的乘積．

解答 解：（1）滑塊從A運動到B的過程中，由機械能守恒定律得
  mgR=$\frac{1}{2}$mv_B²；
解得 v_B=$\sqrt{2gR}$=2 m/s
在B點，由牛頓第二定律得：F_N-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
代入解得，F_N=60N
由牛頓第三定律可知，滑塊對軌道的壓力大小為 F_N′=F_N=60 N，方向豎直向下．
（2）滑塊從B運動到C的過程中，根據牛頓第二定律得  μmg=ma
又 v₀²-v_B²=2aL，聯立以上兩式解得 μ=0.3
（3）設滑塊從B運動到C的時間為t，加速度
  a=μg=3 m/s²．
由v₀=v_B+at，得t=$\frac{{v}_{0}-{v}_{B}}{a}$=$\frac{4-2}{3}$s=$\frac{2}{3}$ s
在這段時間內傳送帶的位移為 s_傳=v₀t=$\frac{8}{3}$ m
傳送帶與滑塊的相對位移為△s=s_傳-L=$\frac{2}{3}$ m
故滑塊與傳送帶之間的摩擦而產生的熱量
   Q=μmg△s=4 J．
答：
（1）滑塊到達底端B時對軌道的壓力是60N，方向豎直向下；
（2）滑塊與傳送帶問的動摩擦因數μ是0.3；
（3）此過程中，由于滑塊與傳送帶之間的摩擦而產生的熱量Q是4J．

點評 本題是機械能守恒定律、向心力、牛頓第二定律、運動學公式的綜合應用，容易出錯的地方是：Q=μmgL，應根據相對位移求解摩擦生熱．