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8.如圖所示,在坐標系xOy的第1、4象限有沿x軸正方向的勻強電場,在第2、3象限內(nèi)有沿y軸負方向的勻強電場,在第2象限中有垂直于紙面向里的勻強磁場,一質(zhì)量為m,電荷量為q的帶電粒子從y軸上P點沿與y軸正方向45°角的初速度進入第3象限,初速度的大小為v,粒子在第3象限內(nèi)做勻速直線運動,進入第2象限后粒子做勻速圓周運動,并以與y軸負方向45°角進入第1象限,在第1、4象限里運動后恰好能到達P點,第1、4象限內(nèi)的電場強度與第2、3象限內(nèi)的電場強度大小相同,求:
(1)P點的坐標及磁感應(yīng)強度的大�。�
(2)粒子從P點出發(fā)再回到P點所用的時間;
(3)若粒子在磁場中運動到某時刻時撤去磁場,如果粒子能連續(xù)兩次通過y軸上的某一點,求粒子從P點出發(fā)到第二次通過y軸所用時間.

分析 (1)粒子在第3象限內(nèi)做勻速直線運動,進入第2象限后粒子做勻速圓周運動,可知粒子受到的電場力與重力大小相等,方向相反,由此得出電場力的大��;根據(jù)粒子做勻速圓周運動的對稱性畫出粒子的運動軌跡,確定粒子進入第一象限的速度的方向,然后將運動沿水平方向與豎直方向分解,即可求出豎直方向粒子的位移,然后結(jié)合幾何關(guān)系求出運動的時間、P的坐標、粒子的半徑以及磁感應(yīng)強度;
(2)粒子粒子在第3象限內(nèi)做勻速直線運動,進入第2象限后粒子做勻速圓周運動,分別求出運動的時間,三段時間的和即為所求;
(3)若粒子在磁場中運動到某時刻時撤去磁場,如果粒子能連續(xù)兩次通過y軸上的某一點,則撤去磁場時,粒子運動的方向與電場力、重力合力的方向在同一條直線上,分別求出運動的時間,四段時間的和即為所求.

解答 解:(1)粒子在第3象限內(nèi)做勻速直線運動,可知粒子受到的電場力與重力大小相等,方向相反,由此得出電場力的大小:qE=mg…①;
根據(jù)粒子做勻速圓周運動的對稱性畫出粒子的運動軌跡如圖1,
由圖可知粒子在第二象限中的軌跡是半圓,進入第一象限的速度的方向與y軸反方向之間的夾角是45°,
然后將運動沿水平方向與豎直方向分解,水平方向:
ax=qEm=mgm=g
由于水平發(fā)展做勻變速直線運動,到達P時,水平速度的大小與原速度相等,方向相反,所以:
{a}_{x}t=-{v}_{x}-{v}_{x}=-{2v}_{x}=2vsin45°=\sqrt{2}v
所以:{t}_{1}=\frac{\sqrt{2}v}{g}…②
在豎直方向:y={v}_{y}t+\frac{1}{2}g{t}^{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}v×\frac{\sqrt{2}v}{g}+\frac{1}{2}g×(\frac{\sqrt{2}v}{g})^{2}=\frac{2{v}^{2}}{g}
由圖可知,\overline{OP}=\frac{1}{2}y=\frac{{v}^{2}}{g}
P的坐標為:(0,-\frac{{v}^{2}}{g}
粒子的半徑:r=\frac{1}{2}•\frac{\overline{OM}}{cos45°}=\frac{\sqrt{2}}{2}•\overline{OM}=\frac{\sqrt{2}}{2}\overline{OP}=\frac{\sqrt{2}{v}^{2}}{2g}…③
粒子在第二象限中,受到的電場力與重力大小相等,方向相反,洛倫茲力提供向心力,得:
qvB=\frac{m{v}^{2}}{r}…④
所以磁感應(yīng)強度:B=\frac{mv}{qr}=\frac{\sqrt{2}mg}{qv}…⑤
(2)粒子粒子在第3象限內(nèi)做勻速直線運動,運動的時間:{t}_{2}=\frac{\overline{MP}}{v}=\frac{\sqrt{2}\overline{OP}}{v}=\frac{\sqrt{2}v}{g}…⑥
粒子進入第2象限后粒子做勻速圓周運動,運動的時間是半個周期,所以:
{t}_{3}=\frac{1}{2}T=\frac{1}{2}×\frac{2πr}{v}=\frac{πr}{v}=\frac{\sqrt{2}πv}{2g}…⑦
三段時間的和即為粒子從P點出發(fā)再回到P點所用的時間:t=t1+t2+t3=\frac{\sqrt{2}v}{g}+\frac{\sqrt{2}v}{g}+\frac{\sqrt{2}πv}{g}=\frac{\sqrt{2}v}{g}+\frac{\sqrt{2}v}{g}+\frac{\sqrt{2}πv}{2g}=\frac{(4\sqrt{2}+π\(zhòng)sqrt{2})v}{2g}
(3)若粒子在磁場中運動到某時刻時撤去磁場,如果粒子能連續(xù)兩次通過y軸上的某一點,則撤去磁場時,粒子運動的方向與電場力、重力合力的方向在同一條直線上,此時運動的軌跡如圖2,
M到Q的時間是圓周的\frac{1}{4}
所以:{t}_{4}=\frac{1}{4}T=\frac{\sqrt{2}πv}{4g}
由圖可知:QD=2r=\frac{\sqrt{2}{v}^{2}}{g}
運動的時間:{t}_{5}=\frac{QD}{v}=\frac{\sqrt{2}v}{g}
由圖可知,粒子射入第一象限時,速度的方向與y軸的夾角是45°,所以粒子在第一象限中運動的時間:
{t}_{6}={t}_{1}=\frac{\sqrt{2}v}{g}
粒子粒子從P點出發(fā)到第二次通過y軸所用時間:
t′=t2+t4+t5+t6=\frac{v}{g}+\frac{\sqrt{2}πv}{4g}+\frac{\sqrt{2}v}{g}+\frac{\sqrt{2}v}{g}=(4+8\sqrt{2}+\sqrt{2}π)•\frac{v}{g}
答:(1)P點的坐標是:(0,-\frac{{v}^{2}}{g}),磁感應(yīng)強度的大小是\frac{\sqrt{2}mg}{qv};
(2)粒子從P點出發(fā)再回到P點所用的時間是\frac{(4\sqrt{2}+π\(zhòng)sqrt{2})v}{2g};
(3)若粒子在磁場中運動到某時刻時撤去磁場,如果粒子能連續(xù)兩次通過y軸上的某一點,求粒子從P點出發(fā)到第二次通過y軸所用時間是(4+8\sqrt{2}+\sqrt{2}π)•\frac{v}{g}

點評 帶電粒子在電場、磁場中的運動要注意分析過程,并結(jié)合各過程中涉及到的運動規(guī)律采用合理的物理規(guī)律求解.

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