Question

（2009?黃州區(qū)模擬）如圖所示，有一與豎直方向夾角為45°的直線邊界，其左下方有一正交的勻強(qiáng)電磁場(chǎng)．磁場(chǎng)方向垂直于紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B；電場(chǎng)方向豎直向上，場(chǎng)強(qiáng)大小為E=mg/q．一質(zhì)量為m，電荷量為+q的小球從邊界上N點(diǎn)正上方高為h處的M點(diǎn)靜止釋放，下落到N點(diǎn)時(shí)小球瞬間爆炸成質(zhì)量、電荷量均相等的A、B兩塊．已知爆炸后A向上運(yùn)動(dòng)，能達(dá)到的最大高度為4h；B向下運(yùn)動(dòng)進(jìn)入電磁場(chǎng)區(qū)域．此后A也將進(jìn)入電磁場(chǎng)區(qū)域，求：
（1）B剛進(jìn)入電磁場(chǎng)區(qū)域的速度v_B1；
（2）B第二次進(jìn)入電磁場(chǎng)區(qū)域的速度v_B2；
（3）設(shè)B、A第二次進(jìn)入電磁場(chǎng)時(shí)，與邊界OO'交點(diǎn)分別為P、Q，求PQ之間的距離．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)動(dòng)能定理，結(jié)合動(dòng)量守恒定律求出B剛進(jìn)入電磁場(chǎng)區(qū)域的速度．
（2）B進(jìn)入電磁場(chǎng)，受到的電場(chǎng)力和重力相等，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)幾何關(guān)系，得出B出磁場(chǎng)后的速度方向，從而確定其運(yùn)動(dòng)情況，從而根據(jù)運(yùn)動(dòng)分析得出第二次進(jìn)入電磁場(chǎng)的速度．
（3）根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)的知識(shí)，結(jié)合軌道半徑，運(yùn)用幾何關(guān)系分別求出A、B第二次進(jìn)入電磁場(chǎng)與第一次進(jìn)入電磁場(chǎng)之間的距離，從而求出PQ之間的距離．

解答：解：（1）設(shè)小球運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)時(shí)速度為v₀，則有：mgh=

1

2

m

v

2 0

即：v0=

2gh

設(shè)爆炸后瞬間A的速度為v_A1則有：

1

2

?

m

2

v

2 A1

=

m

2

g?4h
即：vA1=2v0=

8gh

爆炸前后動(dòng)量守恒，有：mv0=

m

2

vB1-

m

2

vA1
聯(lián)立，得：vB1=4v0=4

2gh

（2）進(jìn)入電磁場(chǎng)后由于

m

2

g=

q

2

E，故B做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．B離開電磁場(chǎng)后做平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則有：

.

CP

sin45°=vB1t

.

CP

cos45°=

1

2

gt2
聯(lián)立，得：t=

2vB1

g

所以：v_y=gt=2v_B1
由圖知：vB2=

v 2 B1 + v 2 y

=

5

vB1=4

10gh

設(shè)v₂與水平方向α成角，則：tanα=

vy

vB1

=2
（3）設(shè)運(yùn)動(dòng)半徑為R_B，有：

q

2

vB1B=

m

2

v 2 B1

RB

即RB=

mvB1

qB

故NC的距離為：

.

NC

=

2

RB=

2 mvB1

qB

由前可得：

.

CP

=

2 2 v 2 B1

g

所以B第一次進(jìn)入磁場(chǎng)到第二次進(jìn)入磁場(chǎng)之間的距離為：

.

NP

=

.

NC

+

.

CP

=

2 mvB1

qB

+

2 2 v 2 B1

g

=

8m gh

qB

+64

2

h
同理A第一次進(jìn)入磁場(chǎng)到第二次進(jìn)入磁場(chǎng)之間的距離為：

.

NQ

=

.

ND

+

.

DQ

=

2 mvA1

qB

+

2 2 v 2 A1

g

=

4m gh

qB

+16

2

h
故PQ間的距離為：

.

PQ

=

.

NP

-

.

NQ

=

4m gh

qB

+48

2

h
答：（1）B剛進(jìn)入電磁場(chǎng)區(qū)域的速度為4

2gh

．
（2）B第二次進(jìn)入電磁場(chǎng)區(qū)域的速度v_B2為4

10gh

．
（3）PQ之間的距離為48

2

h+

4m gh

qB

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合運(yùn)用了動(dòng)能定理、動(dòng)量守恒定律、牛頓第二定律，綜合性較強(qiáng)，對(duì)數(shù)學(xué)幾何能力的要求較高，關(guān)鍵搞清A、B的運(yùn)動(dòng)情況，選擇合適的規(guī)律進(jìn)行求解．