Question

美國科學家發(fā)射的最新火星登陸器“鳳凰”號（造價高達4.2億美元）登陸火星后（下圖為“鳳凰”號著陸情景），為了測定火星的重力加速度，進行了如下實驗．在一外方內(nèi)圓的盒子內(nèi)放一個小球，且小球質(zhì)量與盒子質(zhì)量相等均為m，通過計算機控制，給小球一個初速度υ，讓小球在豎直平面內(nèi)做圓周運動，結(jié)果發(fā)現(xiàn)小球在經(jīng)過最高點時盒子剛好能離開地面，已知盒子內(nèi)壁光滑，半徑為R，火星的半徑為R'試求：
（1）火星表面的重力加速度？
（2）“鳳凰”號返回地球時，離開火星時的速度？（第一宇宙速度和第二宇宙速度的關系為υ2=

2

υ1）

Answer 1

（1）設小球經(jīng)過最高點時速度為υ'，由最低點到最高點時，機械能守恒，則有

1

2

mυ′2+mg2R=

1

2

mυ2
在最高點，由題意可知方盒對小球向下的作用力為mg，由牛頓第二定律得
F合=mg+mg=m

v′2

R

聯(lián)立解得：g=

υ2

6R

…①
（2）設火星質(zhì)量為M，則由萬有引力定律可得在火星表面上有

GMm

R′2

=mg…②
當“鳳凰”號沿火星表面上附近運動時有

GMm

R′2

=m

υ 21

R′

…③
聯(lián)立①②③解得：υ1=υ

R′ 6R

根據(jù)題意可知“鳳凰”號返回地球時，離開火星時的速度必須滿足第二宇宙速度，即“鳳凰”號離開火星時的速度為：υ2=

2

υ1=υ

R′ 3R

答：（1）火星表面的重力加速度g=

υ2

6R

．
（2））“鳳凰”號返回地球時，離開火星時的速度υ

R′ 3R

．