Question

如圖甲所示，有兩塊大小不同的圓形薄板（厚度不計(jì)），質(zhì)量分別為M和m，半徑分別為R和r，兩板之間用一根長(zhǎng)為0.4m的輕繩相連結(jié)．開始時(shí)，兩板水平放置并疊合在一起，靜止于高度為0.2m處．然后自由下落到一固定支架C上，支架上有一半徑為R′（r＜R′＜R）的圓孔，圓孔與兩薄板中心均在圓板中心軸線上，木板與支架發(fā)生沒有機(jī)械能損失的碰撞．碰撞后，兩板即分離，直到輕繩繃緊．在輕繩繃緊的瞬間，兩物體具有共同速度v，如圖乙所示．求：
（1）若M/m=K，試討論 v的方向與K值間的關(guān)系．
（2）若M=m，則v值為多大？

Answer 1

分析：（1）開始 M與m自由下落，機(jī)械能守恒．M與支架C碰撞后，碰撞過程中無機(jī)械能損失，M以原速率返回，向上做勻減速運(yùn)動(dòng)．m向下做勻加速運(yùn)動(dòng)．當(dāng)M與m的位移大小之和等于繩長(zhǎng)時(shí)，繩子繃緊，根據(jù)位移公式和位移之和等于繩長(zhǎng)求出時(shí)間，由速度公式求出繩繃緊前兩物體的速度．在繩繃緊瞬間，內(nèi)力（繩拉力）很大，可忽略重力，認(rèn)為在豎直方向上M與m系統(tǒng)動(dòng)量守恒，根據(jù)動(dòng)量守恒定律求出V．
（2）根據(jù)V與K的關(guān)系式，討論分析V的方向．

解答：解：（1）選取研究對(duì)象顯然是M和m，它們可以合在一起看作一個(gè)質(zhì)點(diǎn)．本題可把整個(gè)過程分三個(gè)階段處理：
第一階段，兩板看成一個(gè)質(zhì)點(diǎn)自由下落直到與固定支架發(fā)生碰撞．故碰撞前的速度為v0=

2gh

=2m/s
第二階段，以地面為參考系，M與支架C碰撞后，M以速率v₀返回，向上做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，m以速率v₀向下做勻加速運(yùn)動(dòng)．兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)同時(shí)做不同的運(yùn)動(dòng)，這樣的物理模型比較復(fù)雜．若改變參考系，可以選擇其他的運(yùn)動(dòng)模型，從而使過程簡(jiǎn)化．以大圓板為參考系，則M靜止，小圓板以速率2v₀向下做勻速直線運(yùn)動(dòng)．一個(gè)靜止，一個(gè)勻速運(yùn)動(dòng)，這個(gè)運(yùn)動(dòng)模型簡(jiǎn)單多了．設(shè)經(jīng)過時(shí)間t后兩板間繩繃緊，有：L=2v₀t…①
再回到以地面為參考系的情況，v_M=v₀-gtv_m=v₀-gt…②
v_m=v₀+gt…③
解以上三式得v_M=1m/s，v_m=3m/s
第三階段，繩繃緊瞬間，由于板間繩作用力遠(yuǎn)大于它們的重力，所以動(dòng)量守恒，設(shè)向上為正方向，有Mv_M-mv_m=（M+m）v…④
得：v=

M m vM-vm

M m +1

=

k-3

k+1

…⑤
（2）M=m，即k=1，代入上式得，v=-1m/s，兩板獲得向下的共同速度．還可知道：
當(dāng)k＞3時(shí)，兩板獲得向上的共同速度；
當(dāng)k＜3時(shí)，兩板獲得向下的共同速度；
當(dāng)k=3時(shí)，v=0，兩板瞬時(shí)速度為零，接著再自由下落．
答：（1）若M/m=K，討論 v的方向與K值間的關(guān)系v=

M m vM-vm

M m +1

=

k-3

k+1

；
（2）若M=m，則v值為M=m，即k=1，代入上式得，v=-1m/s，兩板獲得向下的共同速度．還可知道：
當(dāng)k＞3時(shí)，兩板獲得向上的共同速度；
當(dāng)k＜3時(shí)，兩板獲得向下的共同速度；
當(dāng)k=3時(shí)，v=0，兩板瞬時(shí)速度為零，接著再自由下落．

點(diǎn)評(píng)：此題涉及四個(gè)過程：兩物體一起自由下落、M與板碰撞、兩物體分別向下和向上運(yùn)動(dòng)、繩繃緊，將全過程分成若干個(gè)子過程進(jìn)行研究，同時(shí)尋找各個(gè)過程的規(guī)律，這是解決復(fù)雜問題的基本思想．
求“撞后兩板立刻分離，直到輕繩繃緊”的時(shí)間也可用相對(duì)運(yùn)動(dòng)的知識(shí)求解（兩物體做相對(duì)速度為4m/s、相對(duì)位移為0.4m的勻速直線運(yùn)動(dòng)），可以簡(jiǎn)化過程．