Question

19．如圖所示，與水平面成37°傾斜軌道AB，其沿直線在C點(diǎn)與半徑R=1m的半圓軌道CD相切，全部軌道為絕緣材料制成且放在豎直面內(nèi)，整個(gè)空間存在水平向左的勻強(qiáng)電場(chǎng)，MN的右側(cè)存在垂直約面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，一個(gè)質(zhì)量為m=0.4kg的帶電小球從A點(diǎn)無初速開始沿斜面下滑，至B點(diǎn)時(shí)速度為v_B=$\frac{100}{7}$m/s，接著沿直線BC（此處無軌道）運(yùn)動(dòng)到達(dá)C處進(jìn)入半圓軌道，進(jìn)入時(shí)無動(dòng)能損失，且剛好到達(dá)D點(diǎn)，從D點(diǎn)飛出時(shí)磁場(chǎng)立即消失，不計(jì)空氣阻力，g=10m/s²，cos37°=0.8，求：
（1）小球帶何種電荷．
（2）小球離開D點(diǎn)后的運(yùn)動(dòng)軌跡與直線AC的交點(diǎn)距C點(diǎn)的距離．
（3）小球在半圓軌道部分克服摩擦力所做的功．

Answer 1

分析 帶電粒子在只有電場(chǎng)的傾斜軌道上做勻加速運(yùn)動(dòng)后，進(jìn)入電場(chǎng)與磁場(chǎng)混合的場(chǎng)中做勻速直線運(yùn)動(dòng)，重力、洛倫茲力與電場(chǎng)力處于平衡狀態(tài)，接著沿半圓軌道運(yùn)動(dòng)剛好能達(dá)到D點(diǎn)，最后從D點(diǎn)做類平拋運(yùn)動(dòng)，此時(shí)所受到的合力正好與速度相互垂直．因此由電場(chǎng)力與電場(chǎng)強(qiáng)度方向可確定小球所帶電性，同時(shí)利用平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可得小球垂直與速度方向上發(fā)生的位移，從而求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，最終確定沿速度方向的運(yùn)動(dòng)的位移．小球在半圓軌道上由運(yùn)動(dòng)定理可得克服摩擦力做功多少．

解答 解：（1）小球受到重力、電場(chǎng)力與洛倫茲力作用，如果小球帶負(fù)電，電場(chǎng)力水平向右，洛倫茲力斜向左下方，重力豎直向下，小球受到的合力不可能為零，也不可能與速度方向在同一直線上，小球不可能做直線運(yùn)動(dòng)，則小球帶正電．如圖：
（2）小球在BC間做勻速直線運(yùn)動(dòng)，則有C點(diǎn)的速度與B點(diǎn)的速度相等，即v_c=$\frac{100}{7}$m/s 
在BC段受力如圖所示，設(shè)重力與電場(chǎng)力合力為F，
則有F=qvB，
又F=$\frac{mg}{cos37°}$=5N
解得：$Bq=\frac{F}{v}$=$\frac{7}{20}$
在D處由牛頓第二定律可得：$Bq{v}_{D}+F=m\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
由以上兩式可得：v_D=4m/s或${v}_{D}=-\frac{25}{8}m/s$（舍去）
小球離開D點(diǎn)后做類平拋運(yùn)動(dòng)，其加速度為：由$2R=\frac{1}{2}a{t}^{2}$
解得：$t=\sqrt{\frac{4R}{a}}=\sqrt{\frac{4mR}{F}}=\frac{2\sqrt{2}}{5}$S
s=v_Dt=2.26m
（3）設(shè)CD段克服摩擦力做功W_f，
由動(dòng)能定理可得：$-{W}_{f}-2FR=\frac{1}{2}m（{v}_{D}^{2}-{v}_{C}^{2}）$
解得：W_f=27.6J．
答：（1）小球正電荷．
（2）小球離開D點(diǎn)后的運(yùn)動(dòng)軌跡與直線AC的交點(diǎn)距C點(diǎn)的距離為2.26m．
（3）小球在半圓軌道部分克服摩擦力所做的功為27.6J．

點(diǎn)評(píng) 小球從D點(diǎn)飛出后，正好受到重力與電場(chǎng)力且這兩個(gè)力的合力與速度垂直，所以剛好做類平拋運(yùn)動(dòng)．因此可以將傾斜軌道等效看成水平面，相當(dāng)于小球做平拋運(yùn)動(dòng)，從而可以運(yùn)用平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律來處理．