Question

17．如圖為某游樂場內(nèi)水上滑梯軌道示意圖，整個軌道在同一豎直平面內(nèi)，表面粗糙的AB段對接與四分之一光滑圓弧軌道BC在B點水平相切．點A距水面的高度為H，圓弧軌道BC的半徑為R，圓心O恰在水面．一質(zhì)量為m的游客（視為質(zhì)點）可從軌道AB的任意位置滑下，不計空氣阻力．
（1）若游客從A點由靜止開始滑下，到B點時沿切線方向滑離軌道落在水面D點，OD=2R，求游客滑到的速度v_B大小及運動過程軌道摩擦力對其所做的功W_f；
（2）若游客從AB段某處滑下，恰好停在B點，又因為受到微小擾動，繼續(xù)沿圓弧軌道滑到P點后滑離軌道，求P點離水面的高度h．（提示：在圓周運動過程中任一點，質(zhì)點所受的向心力與其速率的關(guān)系為F_向=m$\frac{{v}^{2}}{R}$）

Answer 1

分析 （1）游客從B點開始做平拋運動，將運動分解，即可求出游客到達B的速度，A到B的過程中由動能定理即可求出運動過程軌道摩擦力對其所做的功W_f．
（2）設(shè)OP與OB最近的夾角是θ，在P點離開軌道時，軌道對游客的支持力是0，由重力指向圓心的分力提供向心力，結(jié)合機械能守恒與向心力的表達式即可求解．

解答 解：（1）游客從B點做平拋運動，有2R=v_Bt；R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$；
聯(lián)立解得 v_B=$\sqrt{2gR}$
從A到B，根據(jù)動能定理，有 mg（H-R）+W_f=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$-0
得：W_f=mg（2R-H）；
（2）設(shè)OP與OB間夾角為θ，游客在P點時的速度為v_P，從B到P由機械能守恒定律，有
  mg（R-Rcosθ）=$\frac{1}{2}m{v}_{P}^{2}$-0
過P點時，由重力指向圓心的分力提供向心力，根據(jù)向心力公式得：
mgcosθ=m$\frac{{v}_{P}^{2}}{R}$
又：cosθ=$\frac{h}{R}$
聯(lián)立得：h=$\frac{2}{3}$R
答：
（1）游客滑到的速度v_B大小是$\sqrt{2gR}$，運動過程軌道摩擦力對其所做的功是mg（2R-H）．
（2）P點離水面的高度是$\frac{2}{3}R$．

點評 該題中正確判斷出游客在P點離開軌道時，軌道對游客的支持力是0，由重力指向圓心的分力提供向心力是解題的關(guān)鍵．