Question

4．如圖所示為糧食倉庫中常用的皮帶傳輸裝置示意圖，它由兩臺皮帶傳送機(jī)組成，一臺水平傳送，A、B兩端相距L₁=3m；另一臺傾斜傳送，傳送帶與地面間的傾角θ=37°，C、D兩端相距L₂=4.45m，B、C相距很近．水平傳送帶以v₀=5m/s沿順時針方向轉(zhuǎn)動．現(xiàn)將質(zhì)量為m=10kg的一袋大米無初速度的放在A端，它隨傳送帶到達(dá)B點(diǎn)后，速度大小不變的傳到傾斜傳送帶的C端，當(dāng)米袋速度為零時將米袋取走．米袋與兩傳送帶之間的動摩擦因素均為μ=0.5，取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．
（1）若傾斜傳送帶CD不轉(zhuǎn)動，則米袋沿傳送帶AB運(yùn)動的時間為多少？米袋沿傳送帶CD向上滑動的時間為多少？
（2）若傾斜傳送帶CD以v=4m/s的速率沿順時針方向轉(zhuǎn)動，試判斷米袋能否傳到D端？若不能，求米袋沿傳送帶CD所能上滑的最大距離；若能，求米袋從C端運(yùn)動到D端的時間．

Answer 1

分析 （1）由牛頓第二定律可以求出米袋在水平傳送帶與傾斜傳送帶上的加速度，應(yīng)用勻變速運(yùn)動的速度公式與位移公式求出米袋的運(yùn)動時間．
（2）由于米袋開始的速度大于傾斜傳送帶的速度，所以所受摩擦力的方向向下，根據(jù)牛頓第二定律求出加速度，從而求出勻減速運(yùn)動速度達(dá)到傳送帶速度的時間，因?yàn)閙gsinθ＞μmgcosθ，速度達(dá)到傳送帶速度后不能一起做勻速直線運(yùn)動，向上做勻減速直線運(yùn)動，摩擦力方向向上，根據(jù)牛頓第二定律求出運(yùn)動的加速度，根據(jù)運(yùn)動學(xué)公式求出米袋到達(dá)D點(diǎn)的時間．從而求出總時間．

解答 解：（1）①由牛頓第二定律得米袋在AB上加速運(yùn)動的加速度：
a₁=$\frac{f}{m}$=$\frac{μmg}{m}$=μg=0.5×10=5m/s²，
米袋速度達(dá)到v₀=5m/s時滑過的距離：
s₁=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2{a}_{1}}$=$\frac{{5}^{2}}{2×5}$=2.5m＜L₁=3m，
故米袋先加速一段時間后再與傳送帶一起勻速運(yùn)動，到達(dá)才C端速度為：
v₀=5m/s，
米袋在AB上勻加速的運(yùn)動時間：t₁=$\frac{{v}_{0}}{{a}_{1}}$=$\frac{5}{5}$=1s，
勻速運(yùn)動的時間：t₂=$\frac{{s}_{2}}{{v}_{0}}$=$\frac{{L}_{1}-{s}_{1}}{{v}_{0}}$=$\frac{3-2.5}{5}$=0.1s，
米袋傳送帶AB上的運(yùn)動時間：t=t₁+t₂=1s+0.1s=1.1s；
②米袋在CD傳送帶上，由頓第二定律得：
mgsinθ+μmgcosθ=ma₂，
解得：a₂=g（sin37°+μcos37°）=10×（0.6+0.5×0.8）=10m/s²，
能沿CD上滑的最大距離：s=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2{a}_{2}}$=$\frac{{5}^{2}}{2×10}$=1.25m＜L₂=4.45m，
米袋不能到達(dá)D點(diǎn)，米袋在傳送帶上做減速運(yùn)動，速度變?yōu)榱悖?br />則米袋在CD上向上滑動的時間t′=$\frac{{v}_{0}}{{a}_{2}}$=$\frac{5}{10}$=0.5s；
（2）CD順時針轉(zhuǎn)動時，米袋速度減為v=4m/s之前的加速度，
由頓第二定律得：mgsinθ+μmgcosθ=ma，
a=g（sinθ+μcosθ）=10×（0.6+0.5×0.8）=10m/s²，
此時上滑的距離為：s=$\frac{{v}^{2}-{v}_{0}^{2}}{2a}$=$\frac{{4}^{2}-{5}^{2}}{2×（-10）}$=0.45m＜L₂=4.45m，
米袋速度達(dá)到v=4m/s后，由于μmgcosθ＜mgsinθ，米袋繼續(xù)減速上滑，
由頓第二定律得：mgsinθ-μmgcosθ=ma′，
其加速度為：a′=g（sinθ-μcosθ）=10×（0.6-0.5×0.8）=2m/s²，
減速到零時上滑的距離為：s′=$\frac{0-{v}^{2}}{2a′}$=$\frac{0-{4}^{2}}{2×（-2）}$=4，
s+s′═4.45=L₂，即速度為零時剛好到D端，米袋能傳到D點(diǎn)；
由v₀減速為v所用時間為：t=$\frac{v-{v}_{0}}{a}$=$\frac{4-5}{-10}$=0.1s，
由v減速為0所用時間為：t′=$\frac{0-v}{a′}$=$\frac{0-4}{-2}$=2s，
故米袋從C到D的總時間為：t_總=t+t′=2.1s；
答：（1）若傾斜傳送帶CD不轉(zhuǎn)動，則米袋沿傳送帶AB運(yùn)動的時間為1.1s，米袋沿傳送帶CD向上滑動的時間為0.5s．
（2）若傾斜傳送帶CD以v=4m/s的速率沿順時針方向轉(zhuǎn)動，米袋能傳到D端，米袋從C端運(yùn)動到D端的時間為2.1s．

點(diǎn)評 本題是個多過程問題，關(guān)鍵要理清各個階段的運(yùn)動情況，結(jié)合牛頓運(yùn)動定律和運(yùn)動學(xué)進(jìn)行求解．