Question

6．如圖甲的xoy坐標(biāo)系中，第一、二和三象限中存在垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，在O處有一粒子源，能向平面內(nèi)各個(gè)方向均勻發(fā)射速率為v₀的帶正電的相同粒子，這些粒子與一x軸的最遠(yuǎn)交點(diǎn)為A（-2a，0）．不計(jì)粒子重力以及粒子之間的相互作用．

（1）求粒子的比荷$\frac{q}{m}$；
（2）若在x=-1.5a處垂直于x軸放置一塊足夠長的熒光板MN，當(dāng)粒子擊中MN時(shí)將被吸收，并使熒光物質(zhì)發(fā)光變亮，求MN上亮線的長度和熒光板對粒子的收集率．（收集率=$\frac{被MN收集的粒子數(shù)}{從O發(fā)射的粒子數(shù)}$×100%）
（3）若撤去粒子源和第一象限內(nèi)的磁場，在第四象限內(nèi)加一個(gè)沿+y方向的場強(qiáng)為E=v₀B的勻強(qiáng)電場，并在第一象限內(nèi)x=3a處放一個(gè)足夠長的光板PQ，如圖乙，在y軸上y=2a以下位置水平沿-x方向以速度v₀發(fā)射上述粒子，則應(yīng)在何處發(fā)射，才能使粒子擊中PQ時(shí)的位置離P最遠(yuǎn)？求出最遠(yuǎn)距離？

Answer 1

分析 （1）在磁場中，根據(jù)洛倫茲力提供向心力幾何幾何關(guān)系即可求解；
（2）根據(jù)幾何關(guān)系分別求出MN上粒子打中的最高點(diǎn)C和最低點(diǎn)離x軸的距離，從而求出亮線的長度，再根據(jù)收集率的定義求解；
（3）粒子在電場中做類平拋運(yùn)動，根據(jù)平拋運(yùn)動的基本公式求出擊中點(diǎn)離P點(diǎn)的距離的表達(dá)式，再結(jié)合數(shù)學(xué)知識求解．

解答 解：（1）在磁場中，根據(jù)洛倫茲力提供向心力得：
Bq${v}_{0}=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{r}$
由幾何關(guān)系得：r=a，
解得：$\frac{q}{m}=\frac{{v}_{0}}{Ba}$
（2）MN上粒子打中的最高點(diǎn)C離x軸的距離${l}_{1}=\sqrt{（2a）^{2}-（\frac{3}{2}a）^{2}}=\frac{\sqrt{7}}{2}a$，
MN上粒子打中的最低點(diǎn)D離x軸的距離${l}_{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}a$
所以亮線的長度l=${l}_{1}+{l}_{2}=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{2}a$
粒子軌跡恰與MN相切，對應(yīng)的發(fā)射方向?yàn)榕c+x成30°和150°，
在△θ=120°范圍內(nèi)發(fā)射的粒子能被MN收集，
則收集率k=$\frac{△θ}{360°}×100$%=33.3%
（3）粒子從y=-h處F點(diǎn)進(jìn)入電場，
在電場中：x=${v}_{0}t，h=\frac{1}{2}\frac{qE}{m}{t}^{2}$，
速度偏角為α，則$tanα=\frac{\frac{qE}{m}t}{{v}_{0}}$，
擊中點(diǎn)離P點(diǎn)的距離為Y=（3a-x）tanα，
聯(lián)立各式解得：Y=3$\sqrt{2ah}-2h$，當(dāng)$\sqrt{h}=-\frac{3\sqrt{2a}}{-4}$，即$h=\frac{9}{8}a時(shí)，亦即發(fā)射點(diǎn)為y=\frac{7}{8}a時(shí)$，
有${Y}_{max}=3\sqrt{2a•\frac{9}{8}a}-2•\frac{9a}{8}=\frac{9}{4}a$．
答：（1）粒子的比荷$\frac{q}{m}$為$\frac{{v}_{0}}{Ba}$；
（2）MN上亮線的長度和熒光板對粒子的收集率為33.3%；
（3）$發(fā)射點(diǎn)為y=\frac{7}{8}a時(shí)$，才能使粒子擊中PQ時(shí)的位置離P最遠(yuǎn)，最遠(yuǎn)距離為$\frac{9}{4}a$．

點(diǎn)評 帶電粒子在磁場中運(yùn)動的題目解題步驟為：定圓心、畫軌跡、求半徑．要掌握左手定則，熟練運(yùn)用牛頓第二定律研究半徑．