Question

2．一圓筒的橫截面如圖所示，其圓心為O，筒內(nèi)有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．圓筒左側(cè)有相距為d的平行金屬板M、N其中M板帶正電荷，N板帶等量負(fù)電荷．質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子自M板邊緣的P處由靜止釋放，經(jīng)N板的小孔S以速度v沿半徑SO方向射入磁場(chǎng)中．粒子與圈筒發(fā)生2次碰撞后仍從S孔射出．設(shè)粒子與圓筒碰撞過(guò)程中沒(méi)有動(dòng)能損失，且電荷量保持不變，在不計(jì)重力的情況下，求：
（1）M、N間電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小；
（2）圓筒的半徑R；
（3）若調(diào)整M、N板間電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小．粒子仍從M板邊緣的P處由靜止釋放，使粒子自進(jìn)入圓筒，至從S孔射入電場(chǎng)期間與圓筒碰撞5次，求粒子由P處射出至返回P處的時(shí)間t．

Answer 1

分析 （1）粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中在加速運(yùn)動(dòng)，電場(chǎng)力做功等于粒子動(dòng)能的增加，根據(jù)動(dòng)能定理和公式U=Ed求解場(chǎng)強(qiáng)E的大��；
（2）粒子在磁場(chǎng)中由洛倫茲力提供向心力，列式可求出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑，再根據(jù)題意，正確畫出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，根據(jù)幾何關(guān)系寫出粒子的半徑與磁場(chǎng)的半徑的關(guān)系，從而求出圓筒的半徑R．
（3）至從S孔射入電場(chǎng)期間與圓筒碰撞5次，根據(jù)幾何關(guān)系可知，5碰撞點(diǎn)和S將圓筒6等分，求出半徑，進(jìn)而求出進(jìn)而磁場(chǎng)時(shí)的速度，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為一個(gè)周期，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)基本公式求出在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間即可求解．

解答 解：（1）設(shè)兩板間的電壓為U，由動(dòng)能定理得：qU=$\frac{1}{2}$mv²-0…①
由勻強(qiáng)電場(chǎng)中電勢(shì)差與電場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系得：U=Ed…②
聯(lián)立上式可得：E=$\frac{m{v}^{2}}{2qd}$…③
（2）粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后又從S點(diǎn)射出，根據(jù)幾何關(guān)系可知，兩碰撞點(diǎn)和S將圓筒三等分．
設(shè)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為r，由洛倫茲力提供向心力，得：
$Bqv=m\frac{{v}^{2}}{r}$
根據(jù)幾何關(guān)系r=$\sqrt{3}R$
聯(lián)立上式，解得：R=$\frac{\sqrt{3}mv}{3qB}$
（3）至從S孔射入電場(chǎng)期間與圓筒碰撞5次，根據(jù)幾何關(guān)系可知，5碰撞點(diǎn)和S將圓筒6等分，則有圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r′=R，
根據(jù)$Bqv′=m\frac{{v′}^{2}}{r′}$
解得：$v′=\frac{BqR}{m}$
粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為一個(gè)周期t${\;}_{1}=T=\frac{2πm}{Bq}$，
粒子在電場(chǎng)中加速的時(shí)間${t}_{2}=\fracis226w6{\frac{v′}{2}}=\frac{2dm}{BqR}$，
所以粒子由P處射出至返回P處的時(shí)間t=${t}_{1}+2{t}_{2}=\frac{2πm}{Bq}+\frac{4dm}{BqR}$=$\frac{2πm}{Bq}+\frac{4\sqrt{3}d}{v}$．
答：（1）M、N間電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小為$\frac{m{v}^{2}}{2qd}$；
（2）圓筒的半徑R為$\frac{\sqrt{3}mv}{3qB}$；
（3）粒子由P處射出至返回P處的時(shí)間t為$\frac{2πm}{Bq}+\frac{4\sqrt{3}d}{v}$．

點(diǎn)評(píng) 解決該題的關(guān)鍵是根據(jù)題目的要求，正確畫出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，并根據(jù)幾何關(guān)系寫出粒子的半徑與磁場(chǎng)的半徑的關(guān)系．該題對(duì)空間思維的能力要求比較高．