Question

20．如圖所示，一輛質(zhì)量為M的小車靜止在水平面上，車面上右端點有一可視為質(zhì)點的滑塊1，水平面上有與車右端相距為4R的固定的$\frac{1}{4}$光滑圓弧軌道，其圓半徑為R，圓弧軌道E處的切線是豎直的，車上表面與地面平行且與圓弧軌道的末端D等高，在圓弧軌道的最低點D處，有另一個可視為質(zhì)點的滑塊2，兩滑塊質(zhì)量均為m．某人由靜止開始推車，當(dāng)車與圓弧軌道的豎直壁CD碰撞后人即撤去推力并離開小車，車碰后靠著豎直壁靜止但不粘連，滑塊1和滑塊2則發(fā)生碰撞，碰后兩滑塊牢牢粘在一起不再分離．車與地面的摩擦不計，滑塊1、2與車面的摩擦系數(shù)均為μ，重力加速度為g，滑塊與車面的最大靜摩擦力可認為等于滑動摩擦力．

（1）若人推車的力是水平方向且大小為F=$\frac{1}{2}$μ（M+m）g，則在人推車的過程中，滑塊1與車是否會發(fā)生相對運動？
（2）在（1）的條件下，滑塊1與滑塊2碰前瞬間，滑塊1的速度多大？
（3）若車面的長度為$\frac{R}{4}$，小車質(zhì)量M=km，則k的取值在什么范圍內(nèi)，兩個滑塊最終沒有滑離車面？

Answer 1

分析 （1）假設(shè)滑塊1與車不發(fā)生相對滑動，根據(jù)牛頓第二定律，分別對整體和滑塊1研究，求出滑塊受到的靜摩擦力大小，與最大靜摩擦力比較，判斷滑塊1與車是否會發(fā)生相對運動．
（2）若滑塊1與車沒有發(fā)生相對滑動，對整體，運用動能定理求出滑塊1與滑塊2碰撞前瞬間滑塊1的速度．兩滑塊碰撞過程，由動量守恒定律求出碰撞后共同的速度．
（3）兩滑塊粘合在一起后沖上光滑圓弧軌道，由于圓弧軌道的E處的切線是豎直的，則無論兩滑塊在圓弧軌道上運動，還是從E處豎直向上離開圓弧軌道，最后還是沿著圓弧軌道回到D處，整個過程中兩滑塊的機械能守恒，兩滑塊最終以原速率沖上車面．根據(jù)動量守恒和能量守恒結(jié)合求解兩個滑塊最終沒有滑離車面時的k．

解答 解：（1）設(shè)滑塊1與車不發(fā)生相對滑動，它們的加速度大小為a，由牛頓第二定律有：F=（M+m）a…①
此時滑塊受到的靜摩擦力大小為：f=ma…②
而$F=\frac{1}{2}μ（M+m）g$…③
由①②③解得：$f=\frac{1}{2}μmg$…④
又滑塊1與車面的最大靜摩擦力為：f_m=μmg…⑤
顯然f＜f_m，說明滑塊1與車面之間沒有發(fā)生相對滑動  
（2）設(shè)滑塊1與滑塊2碰撞前瞬間滑塊1的速度為v，根據(jù)動能定理有：$F•4R=\frac{1}{2}（M+m）{v^2}$…⑥
聯(lián)立③⑥求得：$v=2\sqrt{μgR}$…⑦
（3）設(shè)滑塊1和2發(fā)生碰撞后的共同速度為v₁，規(guī)定向右方向為正方向，由動量守恒定律有：mv=2mv₁…⑧
聯(lián)立⑦⑧求得：${v_1}=\sqrt{μgR}$…⑨
兩滑塊粘合在一起后以v₁的速度沖上光滑圓弧軌道，由于圓弧軌道的E處的切線是豎直的，則無論兩滑塊在圓弧軌道上運動，還是從E處豎直向上離開圓弧軌道，最后還是沿著圓弧軌道回到D處，整個過程中兩滑塊的機械能守恒，兩滑塊最終以速度v₁沖上車面．
設(shè)兩滑塊滑到車的左端時，若滑塊剛好不滑出車面，滑塊和車應(yīng)有共同的速度設(shè)為v₂，規(guī)定相左方向為正方向，由系統(tǒng)的動量守恒有：
2mv₁=（2m+km）v₂…⑩
由系統(tǒng)的能量守恒有：$μ2mg•\frac{R}{4}=\frac{1}{2}•2mv_1^2-\frac{1}{2}（2m+km）v_2^2$…⑪
聯(lián)立⑨⑩⑪解得：k=2…⑫
所以當(dāng)k≤2時，兩個滑塊最終沒有滑離小車．                 
答：（1）若人推車的力是水平方向且大小$F=\frac{1}{2}μ（M+m）g$，在人推車的過程中，滑塊1與車不會發(fā)生相對運動．
（2）在（1）的條件下，滑塊1與滑塊2碰前瞬間，滑塊1的速度是$2\sqrt{μgR}$．
（3）若車面的長度為$\frac{R}{4}$，小車質(zhì)量M=km，k的取值在k≤2時，兩個滑塊最終沒有滑離車面．

點評 本題過程較復(fù)雜，按程序法分析過程，確定每個過程遵循的物理規(guī)律是關(guān)鍵．特別是要挖掘隱含的臨界條件．在人推車的過程中，根據(jù)牛頓第二定律，運用整體法和隔離法求出滑塊1與車間的靜摩擦力，根據(jù)靜摩擦力與最大靜摩擦力的關(guān)系，確定滑塊1與車是否相對滑動．對于滑塊滑回車上后，當(dāng)滑塊滑車的最右端，且速度與車的速度相等時，恰好沒有滑出車，根據(jù)動量守恒和能量守恒求出k，是本題解答的關(guān)鍵步驟．