Question

3．如圖所示，在足夠長的水平邊界MN下方充滿勻強電場（圖中未畫出），同時該區(qū)域上、下部分分別充滿方向垂直于紙面向外和向內的勻強磁場，磁感應強度大小均為B，PQ為上下磁場的水平分界線，MN、PQ間距離為d．一個質量為m、電荷量為-q的小球，由MN上方的O點靜止釋放，小球向下穿過MN進入電磁場區(qū)域后做圓周運動（已知重力加速度為g）．求：
（1）電場強度的大小和方向；
（2）帶電小球第一次穿出MN、PQ邊界所圍的區(qū)域，電場力所做的功；
（3）若從某高度釋放小球后，小球能回到O點，小球經過多長時間返回O點．

Answer 1

分析 （1）帶電小球進入場區(qū)后，恰能做勻速圓周運動，則合力為洛倫茲力，重力與電場力平衡，據此求解E；
（2）分釋放點O距MN的高度h較小和較大兩種情況分析帶電小球進入磁場I區(qū)域后由下邊界PQ第一次穿出磁場I區(qū)域，電場力做的功；
（3）帶電小球在進入磁場前做自由落體運動，帶電小球在磁場中做勻速圓周運動，畫出粒子的運動軌跡，根據運動學基本公式結合幾何關系求解．

解答 解：（1）帶電小球進入場區(qū)后，恰能做勻速圓周運動，則合力為洛倫茲力，重力與電場力平衡，小球帶負電，電場方向豎直向下．
由qE=mg ①
得E=$\frac{mg}{q}$        ②
（2）當釋放點O距MN的高度h較小時，帶電小球進入磁場I區(qū)域的速度較小，由磁場上邊界MN第一次穿出磁場I區(qū)域，此過程中電場力做功W=0③
當釋放點O距MN的高度h較大時，帶電小球進入磁場I區(qū)域后由下邊界PQ第一次穿出磁場I區(qū)域，此過程中電場力做功
W=-qEd=-mgd   ④
（3）設距MN的高度為h₁時釋放帶電小球，帶電小球能回到釋放點O，如圖所示．
帶電小球在進入磁場前做自由落體運動，設下落時間為t₁有：
${h}_{1}=\frac{1}{2}g{{t}_{1}}^{2}$ ⑤
v²=2gh₁        ⑥
帶電小球在磁場中做勻速圓周運動，設半徑為R，周期為T有：
$cosθ=\frac{R}{R+R}$ ⑦
$R=\frac5dvlnw8{sinθ}$ ⑧
$Bqv=m\frac{{v}^{2}}{R}$     ⑨
$T=\frac{2πm}{Bq}$  ⑩
由于帶電小球在I、II兩個區(qū)域運動過程中q、v、B、m的大小不變，故三段圓周運動的半徑相同，如圖所示，由幾何關系知：
${t}_{2}=\frac{2θ+2π-2（90°-θ）}{2π}T$
帶電小球第一次回到釋放點O的時間t為
t=2t₁+t₂
解得：$t=\frac{1}{3}（\frac{4\sqrt{3}Bqd}{mg}+\frac{7πm}{Bq}）$
帶電小球回到釋放點O的時間t_總為t_總=nt，
則${t}_{總}=\frac{n}{3}（\frac{4\sqrt{3}Bqd}{mg}+\frac{7πm}{Bq}）$（n=1、2、3…）
答：（1）電場強度的大小為$\frac{mg}{q}$，方向豎直向下；
（2）帶電小球第一次穿出MN、PQ邊界所圍的區(qū)域，電場力所做的功為0或-mgd；
（3）若從某高度釋放小球后，小球能回到O點，小球經過$\frac{n}{3}（\frac{4\sqrt{3}Bqd}{mg}+\frac{7πm}{Bq}）$（n=1、2、3…）時間返回O點．

點評 帶電粒子在電磁場中運動，關鍵在于分析粒子的運動情況，明確粒子可能運動軌跡，根據幾何關系確定圓心和半徑，同時注意臨界條件的應用才能順利求解，難度較大．