Question

20．如圖所示，空間存在一水平向右的有界勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)上下邊界的距離為d，左右邊界足夠?qū)挘�現(xiàn)有一帶電量為+q、質(zhì)量為m的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）以豎直向上的速度從下邊界上的A點(diǎn)進(jìn)入勻強(qiáng)電場(chǎng)，且恰好沒(méi)有從上邊界射出，小球最后從下邊界的B點(diǎn)離開(kāi)勻強(qiáng)電場(chǎng)，若A、B兩點(diǎn)間的距離為4$\sqrt{3}$d，重力加速度為g，求：
（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度；
（2）設(shè)A點(diǎn)的重力勢(shì)能為零，求小球在電場(chǎng)中的最大機(jī)械能；
（3）求小球速度的最小值．

Answer 1

分析 （1）小球水平方向受電場(chǎng)力作用，做勻加速運(yùn)動(dòng)，在豎直方向受重力作用，做勻變速運(yùn)動(dòng)，上升和下降過(guò)程完全對(duì)稱(chēng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式即可求得；
（2）根據(jù)動(dòng)能定理和機(jī)械能即可求得；
（3）根據(jù)運(yùn)動(dòng)的合成與分解利用數(shù)學(xué)知識(shí)即可求得

解答 解：（1）設(shè)小球從A運(yùn)動(dòng)到B的時(shí)間為t，電場(chǎng)強(qiáng)度為E，水平方向受電場(chǎng)力作用，做勻加速運(yùn)動(dòng)，則有：${x}_{AB}=\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}$，加速度：${a}_{1}=\frac{qE}{m}$，代入數(shù)據(jù)得：$4\sqrt{3}d$=$\frac{1}{2}\frac{qE}{m}{t}^{2}$
同理豎直方向受重力作用，做勻變速運(yùn)動(dòng)，上升和下降過(guò)程完全對(duì)稱(chēng)：則有：$d=\frac{1}{2}g（\frac{t}{2}）^{2}$
聯(lián)立兩式解得：$E=\frac{mg}{q}$．
（2）機(jī)械能的變化量等于初重力以外的力做功，力做功越多機(jī)械能越大，則小球到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的機(jī)械能最大，
根據(jù)動(dòng)能定理知，$\frac{1}{2}{mv}_{B}^{2}-\frac{1}{2}{mv}_{A}^{2}=qE•4d$，到達(dá)B點(diǎn)的動(dòng)能為：$\frac{1}{2}{mv}_{B}^{2}=\frac{1}{2}{mv}_{A}^{2}+qE•4d$，
B點(diǎn)勢(shì)能為0J，則B點(diǎn)的機(jī)械能為：$\frac{1}{2}{mv}_{B}^{2}$，再根據(jù)豎直方向最勻減速運(yùn)動(dòng)，由${v}_{0}^{2}=2gd$，得：$\frac{1}{2}{mv}_{0}^{2}=mgd$，結(jié)合：$E=\frac{mg}{q}$，
得B點(diǎn)的機(jī)械能為：$\frac{1}{2}{mv}_{B}^{2}$=mgd+4Eqd=5mgd
（3）設(shè)經(jīng)過(guò)時(shí)間t′速度最小，由運(yùn)動(dòng)的合成與分解得：v_y=v₀-gt′，${v}_{x}=at′=\frac{qE}{m}t′=gt′$
合速度為：$v=\sqrt{{（gt′）}^{2}+{（{v}_{0}-gt′）}^{2}}$，由數(shù)學(xué)知識(shí)得：當(dāng)（gt′）²=（v₀-gt′）²時(shí)，v有最小值，即：$t′=\frac{{v}_{0}}{2g}$，
帶入解得：$v=\sqrt{gd}$
答：（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度$\frac{mg}{q}$；
（2）小球在電場(chǎng)中的最大機(jī)械能為5mgd；
（3）小球速度的最小值為$\sqrt{gd}$

點(diǎn)評(píng) 本題是在電場(chǎng)的環(huán)境下，考查運(yùn)動(dòng)的分解與合成的關(guān)系，結(jié)合了動(dòng)能定理得知識(shí)點(diǎn)求解問(wèn)題