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5.如圖,在真空中豎直平面內同時存在多層厚度為d,足夠寬的正交復合場,勻強電場的電場強度大小為E,勻強磁場的磁感應強度大小為B,相鄰復合場區(qū)域的間距也為d.將可看做質點、質量為m、帶正電荷量為q的小球從靜止開始下落,下落高度為d后進入復合場,已知mg=qE,重力加速度大小為g,不計粒子運動時的電磁輻射.
(1)求小球在第1層復合場區(qū)域做圓周運動的軌道半徑r1;
(2)求小球到達第2個復合場區(qū)域時速度方向與豎直方向夾角的正弦值;
(3)若空間存在有n層復合場,小球不能從復合場下邊界穿出,求n的最小值.

分析 (1)根據(jù)機械能守恒定律,結合洛倫茲力提供向心力,即可求解;
(2)根據(jù)運動的合成與分解,結合動能定理,及幾何關系,即可求解;
(3)根據(jù)幾何關系得rnsinθn-rnsinαn=d,同理rn-1sinθn-1-rn-2sinαn-2=d,再結合動能定理,及洛倫茲力提供向心力,即可求解.

解答 解:(1)小球進入第1層復合場前,只有重力做功,由機械能守恒定律得:
mgd=12mv21…①
在復合場中小球受重力與電場力相等,洛侖茲力提供圓周運動向心力,有:

Bqv1=mv21r1…②
聯(lián)立解得:r1=mBq2gd…③
(2)設從第1層復合場穿出時速度與豎直方向夾角為θ1,水平速度為v1x;
由幾何關系得:sinθ1=\fracwbq5dgjr1…④
v1x=v1sinθ1…⑤
設從第2層復合場進入時速度與豎直方向夾角為α2,
根據(jù)動能定理有:mg•3d-qEd=12mv22…⑥
小球在重力場中運動時,垂直于重力方向的速度分量不變

v2sinα2=v1sinθ1…⑦
聯(lián)立解得:sinα2=Bq2mggd…⑧
(3)設從第n層復合場進入時速度與豎直方向夾角為αn,從第n層復合場穿出時速度與豎直方向夾角為θn,
由幾何關系得:rnsinθn-rnsinαn=d…⑨
小球在重力場中運動時,垂直于重力方向的速度分量不變,則有:

vnsinαn=vn-1 sinθ n-1…⑩
聯(lián)立⑨⑩得rnsinθn-rn-1sinθn-1=d                     
同理rn-1sinθn-1-rn-2sinαn-2=d                     
聯(lián)立解得 rnsinθn=nd                                  
根據(jù)動能定理有:mg(2n-1)d-qE(n-1)d=12mv2n        
在第n層復合場中小球受重力與電場力相等,洛侖茲力提供圓周運動向心力,有:
Bqvn=mv2nrn                                        
若小球不能從復合場下邊界穿出,則:
{θ}_{n}=\frac{π}{2},sinθn=1
聯(lián)立解得:n=\frac{2{m}^{2}g}{{B}^{2}{q}^{2}d}
答:(1)小球在第1層復合場區(qū)域做圓周運動的軌道半徑\frac{m}{Bq}\sqrt{2gd};
(2)小球到達第2個復合場區(qū)域時速度方向與豎直方向夾角的正弦值\frac{Bq}{2mg}\sqrt{gd};
(3)若空間存在有n層復合場,小球不能從復合場下邊界穿出,n的最小值\frac{2{m}^{2}g}{{B}^{2}{q}^{2}d}

點評 考查運動的合成與分解,掌握動能定理與機械能守恒定律的內容,理解幾何關系rnsinθn-rnsinαn=d的運用,同時掌握牛頓第二定律的內容,及知道洛倫茲力提供向心力的公式,注意畫出運動軌跡圖.

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