Question

5．如圖甲所示，比荷$\frac{q}{m}$=k均帶正電荷的粒子（可視為質(zhì)點(diǎn)），以速度v₀從A點(diǎn)沿AB方向射入長(zhǎng)方形磁場(chǎng)區(qū)域，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)AB=$\sqrt{3}L$，寬AD=L，取粒子剛進(jìn)入長(zhǎng)方形區(qū)域的時(shí)刻為0時(shí)刻．垂直于長(zhǎng)方形平面的磁感應(yīng)強(qiáng)度如圖乙所示變化（以垂直紙面向外的磁場(chǎng)方向?yàn)檎�方向），粒子僅在洛倫磁力的作用下運(yùn)動(dòng)．
（1）若帶電粒子在通過(guò)A點(diǎn)后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不再越過(guò)AD邊，要使其恰能沿DC方向通過(guò)C點(diǎn)，求磁感應(yīng)強(qiáng)度B，及其磁場(chǎng)的變化周期T₀為多少？
（2）要使帶電粒子通過(guò)A點(diǎn)后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不再越過(guò)AD邊，求交變磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀和變化周期T₀的乘積B₂T₂應(yīng)滿足什么關(guān)系？

Answer 1

分析 （1）若要使粒子恰能沿DC方向通過(guò)C點(diǎn)，粒子運(yùn)動(dòng)的時(shí)間必定為磁感應(yīng)強(qiáng)度變化的周期的整數(shù)倍，根據(jù)運(yùn)動(dòng)軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系求得半徑大小，得出磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀及變化的周期T₀．
（2）畫出圖象，根據(jù)幾何知識(shí)知轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角，再根據(jù)周期和角度關(guān)系列式求解．

解答 解：（1）設(shè)粒子運(yùn)動(dòng)經(jīng)過(guò)n個(gè)T0后沿DC方向射出磁場(chǎng)，則AB方向上 $\sqrt{3}$L=2nrsinθ①，
AD方向上 L=2nr（1-cosθ）②．
由①②式，解得θ=120°，
所以將θ=120°代回①②，
得r=$\frac{L}{n}$（n=0、1、2、3、…）．
又r=$\frac{m{v}_{0}}{Bq}$，
得B=$\frac{nm{v}_{0}}{qL}$=$\frac{n{v}_{0}}{kL}$（n=0、1、2、3、…）．
T₀=$\frac{2πm}{3Bq}$=$\frac{2πL}{3n{v}_{0}}$（n=0、1、2、3、…）．
（2）如圖知在$\frac{{T}_{0}}{2}$轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角最大為$\frac{5π}{6}$，要使帶電粒子通過(guò)A點(diǎn)后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不再越過(guò)AD邊，根據(jù)角度和周期關(guān)系知：$\frac{{T}_{0}}{2}$＜$\frac{5}{12}{T}_{B}$…⑦
在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期為：T_B=$\frac{2πm}{Bq}$…⑧
由⑦⑧知T₀B₀≤$\frac{5π}{3k}$
答：（1）若帶電粒子在通過(guò)A點(diǎn)后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不再越過(guò)AD邊，要使其恰能沿DC方向通過(guò)C點(diǎn)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B=$\frac{nm{v}_{0}}{qL}$=$\frac{n{v}_{0}}{kL}$（n=0、1、2、3、…），及其磁場(chǎng)的變化周期為$\frac{2πL}{3n{v}_{0}}$（n=0、1、2、3、…）．
（2）要使帶電粒子通過(guò)A點(diǎn)后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不再越過(guò)AD邊，求交變磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀和變化周期T₀的乘積T₀B₀≤$\frac{5π}{3k}$．

點(diǎn)評(píng) 帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，重點(diǎn)就是運(yùn)動(dòng)分析，要著重掌握?qǐng)A周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，還有相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)，做到能準(zhǔn)確找出原點(diǎn)，明確運(yùn)動(dòng)的軌跡