Question

10．質量M=1000kg的汽車通過圓形拱形橋時的速率恒定，拱形橋的半徑R=10m．試求：
（1）汽車在最高點對拱形橋的壓力為車重的一半時，汽車的速率；
（2）汽車在最高點對拱形橋的壓力為零時，汽車的速率．（重力加速度g=10m/s²）

Answer 1

分析 （1）在拱形橋最高點，根據重力和橋面的支持力的合力提供圓周運動的向心力，根據牛頓第二定律和向心力公式，求出汽車的速度．
（2）汽車在最高點對拱形橋的壓力為零時，靠重力提供向心力，再根據牛頓第二定律和向心力公式，求出汽車的速度．

解答 解：（1）汽車在在最高點時，豎直方向受重力和支持力，其合力提供向心力，由向心力公式得：
Mg-N=M$\frac{{v}^{2}}{R}$
由題意有：N=0.5Mg
聯立得：$\frac{1}{2}$Mg=M$\frac{{v}^{2}}{R}$
代入數據得：v=$\sqrt{\frac{1}{2}×10×10}$m/s=5$\sqrt{2}$m/s
（2）汽車在最高點對拱形橋的壓力為零時，汽車在豎直方向只受重力，由重力提供向心力，由向心力公式得：Mg=M$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{R}$
代入數據得：v₀=$\sqrt{gR}=\sqrt{10×10}$m/s=10m/s
答：（1）汽車在最高點對拱形橋的壓力為自身車重一半時，汽車的速率是5$\sqrt{2}$m/s；
（2）汽車在最高點對拱形橋的壓力為零時，汽車的速率是10m/s．

點評 解決本題的關鍵知道汽車過拱橋，在最高點，靠重力和支持力的合力提供向心力，若支持力為0，由重力提供向心力．