Question

12．如圖所示，某一新型發(fā)電裝置的發(fā)電管是橫截面為矩形的水平管道，管道的長為L、寬為d、高為h，上下兩面是絕緣板．前后兩側面M、N是電阻可忽略的導體板，兩導體板與開關S和定值電阻R相連．整個管道置于磁感應強度大小為B、方向沿z軸正方向的勻強磁場中．管道內(nèi)始終充滿電阻率為ρ的導電液體（有大量的正、負離子），且開關閉合前后，液體在管道進、出口兩端壓強差的作用下，均以恒定速率v₀沿x軸正向流動．求：
（1）開關閉合前，M、N兩板間的電勢差大小U₀；
（2）若已知矩形管道的橫截面積為S．在保持管道截面S及其他量不變的前提下，矩形管道的寬和高可任意調(diào)整．則開關閉合后電阻R可獲得的最大功率P_m多大？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)洛倫茲力等于電場力，即可求解；
（2）由歐姆定律，結合電阻定律，及功率表達式，并依據(jù)數(shù)學知識求極值法，即可求解．

解答 解：（1）設帶電離子所帶的電荷量為q，由洛倫茲力與電場力平衡，有
qv₀B=q$\frac{{U}_{0}}pwyvcuu$                
得  U₀=Bdv₀
（2）開關閉合后，根據(jù)歐姆定律，有
I=$\frac{{U}_{0}}{R+r}$                     
兩導體板間液體的電阻
r=ρ$\fracu4rfmht{Lh}$        
電阻R獲得的功率為P=I²R
解得：P=$（\frac{L{v}_{0}B}{\frac{LR}z1gae6g+\frac{ρ}{L}}）^{2}R$
當$\fracxqpype9{h}=\frac{LR}{ρ}$時，電阻R獲得功率最大，即最大功率為P_m=$\frac{LS{v}_{0}^{2}{B}^{2}}{4ρ}$               
答：（1）開關閉合前，M、N兩板間的電勢差大小Bdv₀；
（2）開關閉合后電阻R可獲得的最大功率$\frac{LS{v}_{0}^{2}{B}^{2}}{4ρ}$．

點評 考查帶電粒子受到洛倫茲力與電場力相平衡的應用，掌握壓強公式與安培力表達式，注意液體受到安培力的模型建立，同時理解會求極值的方法．