Question

從離地h高處有靜止釋放一個質量為m的小球A，同時在它正下方的地面處以速度v₀ 豎直上拋另一個質量也為m的小球B．已知空氣對小球的阻力f大小不變且f=

1

2

mg問：
（1）若h=15m，v₀=20m/s  則經過多長時間小球B與A球相遇．
（2）若h=50m，v₀=30m/s  則經過多長時間小球B與A相遇．

Answer 1

分析：（1）由于是一個是下落，一個是上泡，先判定兩物體是在上升階段相遇還是在下降階段相遇，由此在由位移之和等于高度來求時間．
（2）同第一問的方法，先判定兩物體是在上升階段相遇還是在下降階段相遇，本題由于給了兩個高度，所以據估計對高度大的這一問，物體應該在下降階段相遇，驗證可以得到具體結論，然后再據此來求相遇所需要的時間．

解答：解：（1）B上升至最高點所需的時間：t1=

v0

a1

由牛頓第二定律：mg+

1

2

mg=ma1
解得：
a1=

3

2

g
t1=

4

3

s
此時間內，A的下降位移為：h₁=

1

2

gt2=

80

9

m
B上升的位移為：
h₂=

v0

2

t=

40

3

m
h₁+h₂＞15m
故應該是在B上升階段相遇，設相遇時間為t，則由運動學可得：

1

2

?

1

2

gt2+v0t-

1

2

?

3

2

gt2=h
解得：t=1s            t=-3s（舍棄）
（2）B上升至最高點所需的時間為：t2=

v0

a1

=2s
此過程B上升的高度為：s1=

v02

2a1

=30m
此過程A下降的高度為：s2=

1

2

?

1

2

gt2=10m
上升和下降高度和為：s₁+s₂=40m
總高度為50m，故應是在B下降時相遇
在下降過程中A．B的加速度都是：
a=

mg-f

m

=

1

2

g
設再經過t′的時間追上
A此時的速度：
vA=

1

2

gt2=10m/s
則：
vAt′+

1

2

?

1

2

gt′2+v0t-

1

2

?

1

2

gt′2=h-s1-s2
解得：t′=1s
所以相遇時間為：t=t₂+t′=3s
答：
（1）若h=15m，v₀=20m/s  則經過1s小球B與A球相遇．
（2）若h=50m，v₀=30m/s  則經過3s小球B與A相遇．

點評：本題涉及的重要的內容是豎直上拋問題中的返回問題，和水平的直線相遇不同，豎直上拋不一定就是在上升階段相遇，而極有可能在下降階段相遇，尤其在出現兩個高度的情況下，更應留意大的高度的相遇點的判定．