Question

如圖所示，長(zhǎng)為L(zhǎng)的木板A右邊固定一個(gè)擋板，包括擋板在內(nèi)的總質(zhì)量為1.5M，靜止在光滑的水平地面上。另一質(zhì)量為M的小木塊B(視為質(zhì)點(diǎn))，從木板A的左端開(kāi)始以初速度為v₀在木板A上滑動(dòng)，小木塊B與木板A間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，小木塊B滑到木板A的右端與擋板發(fā)生碰撞，已知碰撞過(guò)程時(shí)間極短，且碰后木塊B恰好滑到木板A的左端就停止滑動(dòng)。求：

(1)若μL＝(g為重力加速度)，在小木塊B與擋碰撞后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，摩擦力對(duì)木板A做正功還是做負(fù)功?做功為多少?

(2)木板A與小木塊B在碰撞后的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若木塊B在某一段時(shí)間內(nèi)相對(duì)地面運(yùn)動(dòng)方向向左，試求木塊B能向左滑動(dòng)，又能保證木板A和小木塊B剛好不脫離的條件。

Answer 1

(1)做負(fù)功0.067 5Mv₀²

(2) ＜μL≤

解析：(1)設(shè)木塊B與木板A碰撞后瞬間A的速度為v₁，B的速度為v₂，A、B相對(duì)靜止后的共同速度為v，整個(gè)過(guò)程中A、B組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，有

Mv₀＝(M＋1.5M)v                               ①

解得v＝                                 ②

碰撞后直至相對(duì)靜止的過(guò)程中，系統(tǒng)動(dòng)量守恒，機(jī)械能的減少量等于系統(tǒng)克服摩擦力做的功，即Mv₂＋1.5Mv₁＝2.5Mv                     ③

(1.5Mv₁²＋Mv₂²－2.5Mv²)＝μMgL               ④

由②③④解得，v₁＝v₀(另一解v₁＝v₀，因小于v，舍去)

這段過(guò)程中，設(shè)木板A克服摩擦力做功為W。

W＝×1.5Mv₁²－×1.5Mv²＝Mv₀²＝0.067 5Mv₀²

(2)由題意知木塊B在碰撞之后，相對(duì)地面向左運(yùn)動(dòng)，先計(jì)算當(dāng)v₂＝0時(shí)滿足的條件，由③式得：

v₁＝。

當(dāng)v₂＝0時(shí)，有v₁＝，代入④式得：×1.5M－×2.5 M＝μMgL

解得：μgL＝

要木塊B向左運(yùn)動(dòng)，則v₂＜0，所以木塊B在某段時(shí)間內(nèi)向左運(yùn)動(dòng)的條件之一是μL＞。

另一方面整個(gè)過(guò)程中損失的機(jī)械能一定大于等于系統(tǒng)摩擦力做的功，即Mv₀²－×2.5M()²≥2μMgL解出另一個(gè)條件是，μL≤

最后得出木塊B在某段時(shí)間內(nèi)向左運(yùn)動(dòng)的條件是＜μL≤。