Question

17．如圖所示，粗糙的水平桌面上有一處于自然狀態(tài)的輕質彈簧，其左端固定在A點，桌子右側豎直放置一被前去了左上角135°的光滑圓弧軌道CNM．圓弧的半徑為R=0.8m，MN為其豎直直徑，C點到桌面的豎直距離也為R，用質量m₁=0.4kg的小物塊將彈簧緩慢壓縮到B點，釋放后m₁恰好停止在桌面的右邊緣處，若用同種材料、質量為m₂=0.2kg的小物塊將彈簧緩慢壓縮到B點后釋放，m₂飛離桌面后由C點沿切線方向落入圓弧軌道．（重力加速度g取10m/s²，m₁、m₂均可以看作質點）
（1）求m₂落入圓弧軌道C點時的速度大�。�
（2）試判斷m₂能否沿圓弧軌道到達M點；
（3）求彈簧被壓縮到B點時的彈性勢能．

Answer 1

分析 （1）根據速度方向求出和豎直分速度的關系，由平拋垂直距離求出豎直分速度，根據三角關系求出到達C點的速度；
（2）假設能運動到M點，計算出到達M點的速度，看能否滿足做圓周運動的條件；
（3）由兩個小物塊所受摩擦力的關系，求出在桌面上運動中減少的能量的關系求出彈簧的彈性勢能．

解答 解：（1）m₂飛離桌面后由C點沿切線方向落入圓弧軌道，如圖所示；

豎直方向上的分速度：${v}_{y}=\sqrt{2gR}=\sqrt{2×10×0.8}=4m/s$
由于C和圓心的連線與水平方向呈45°角，故水平方向上分速度即m₂飛離桌面時的速度：v_x=v_y=4m/s
m₂落入圓弧軌道C點時的速度：v=$\frac{{v}_{y}}{sin45°}=\frac{4}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=4\sqrt{2}m/s$
（2）由于圓弧軌道是光滑的，則m₂飛離桌面后，飛離圓弧軌道過程中機械能守恒；
設m₂能沿圓弧軌道到達M點，到達M點時速度為v_M；
則滿足：$\frac{{m}_{2}{{v}_{M}}^{2}}{R}≥{m}_{2}g$
全程機械能守恒：$\frac{1}{2}{m}_{2}{{v}_{x}}^{2}={m}_{2}gR+\frac{1}{2}{m}_{2}{{v}_{M}}^{2}$
代入數據得：v_M=0m/s
則：$\frac{{m}_{2}{{v}_{M}}^{2}}{R}=\frac{0.2×0}{0.8}=0N＜{m}_{2}g$
故m₂不能沿圓弧軌道到達M點；
（3）兩個小物塊的材料相同，則桌面對小物塊的動摩擦因數相同，設為μ，設從B點到桌面的右邊緣處距離為S，彈簧的彈性勢能為E_p，
則：E_p=μm₁gS=$μ{m}_{2}gS+\frac{1}{2}{m}_{2}{{v}_{x}}^{2}$
代入數據得：E_p=3.2J
答：（1）m₂落入圓弧軌道C點時的速度大小為$4\sqrt{2}m/s$；
（2）m₂不能沿著圓弧軌道到達M點；
（3）彈簧被壓縮到B點時的彈性勢能為3.2J．

點評 本題主要考查機械能守恒和圓周運動的向心力問題，注意能否運動到M點，需要判斷向心力，很容易直接判斷成速度剛好為0，即可到達．