Question

16．如圖所示，頂角θ=45°，的金屬導(dǎo)軌MON固定在水平面內(nèi)，導(dǎo)軌處在方向豎直、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場中．一根與ON垂直的導(dǎo)體棒在水平外力作用下以恒定速度v₀沿導(dǎo)軌MON向右滑動，導(dǎo)體棒的質(zhì)量為 m，導(dǎo)軌與導(dǎo)體棒單位長度的電阻均為r，導(dǎo)體棒與導(dǎo)軌接觸點的a和b，導(dǎo)體棒在滑動過程中始終保持與導(dǎo)軌良好接觸．t=0時，導(dǎo)體棒位于頂角O處，求：
（1）t時刻流過導(dǎo)體棒的電流強(qiáng)度I和電流方向；
（2）導(dǎo)體棒作勻速直線運(yùn)動時水平外力F的表達(dá)式；
（3）導(dǎo)體棒在0～t時間內(nèi)產(chǎn)生的焦耳熱Q；
（4）若在t=0 時刻將外力F撤去，導(dǎo)體棒最終在導(dǎo)軌上靜止時的坐標(biāo)x．

Answer 1

分析 （1）求出t時刻導(dǎo)體棒的有效長度，結(jié)合切割產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢和閉合電路歐姆定律求出電流強(qiáng)度的大小，根據(jù)右手定則求出電流的方向．
（2）當(dāng)導(dǎo)體棒做勻速直線運(yùn)動時，水平外力等于安培力，根據(jù)平衡求出水平拉力的表達(dá)式．
（3）導(dǎo)體棒在0～t時間內(nèi)電流大小恒定，抓住R與時間正比，通過平均功率，根據(jù)Q=Pt求出產(chǎn)生的焦耳熱Q．
（4）根據(jù)動量定理，結(jié)合微分思想、運(yùn)動學(xué)公式求出在t=0時刻將外力F撤去，導(dǎo)體棒最終在導(dǎo)軌上靜止時的坐標(biāo)x．

解答 解：（1）0到t時間內(nèi)，導(dǎo)體棒的位移x=v₀t
t時刻，導(dǎo)體棒長度l=x
導(dǎo)體棒的電動勢 E=Blv₀
回路總電阻 R=（2x+$\sqrt{2}x$）r
電流強(qiáng)度 I=$\frac{E}{R}=\frac{{B{v_0}}}{{（2+\sqrt{2}）r}}$
電流方向為b到a．
（2）勻速直線運(yùn)動時，安培力等于拉力．
F=BlI=$\frac{{{B^2}v_0^2t}}{{（2+\sqrt{2}）r}}$
（3）t時刻導(dǎo)體棒的電功率 P=I²R′
由于I恒定，R′=v₀rt正比于t
因此$\bar P$=I²$\bar R$=$\frac{1}{2}$I² R′
Q=$\bar P$t=$\frac{{B}^{2}{{v}_{0}}^{3}{t}^{2}}{2（2+\sqrt{2}）^{2}r}$．
（4）撤去外力后，設(shè)任意時刻t導(dǎo)體棒的坐標(biāo)為x，速度為v，取很短時間△t或很短距離△x

在t～t+△t時間內(nèi)，由動量定理得
BlI△t=m△v$\sum{\frac{B^2}{{（2+\sqrt{2}）r}}}$（lv△t）=$\sum{m△v=\frac{B^2}{{（2+\sqrt{2}）r}}}△S$=mv₀
掃過面積△S=$\frac{{（{x_0}+x）（x-{x_0}）}}{2}$=$\frac{{{x^2}-x_0^2}}{2}$（x₀=v₀t₀）得
x=$\sqrt{\frac{{2（2+\sqrt{2}）m{v_0}r}}{{{B^2}_{\;}}}+{{（{v_0}{t_0}）}^2}}$
或設(shè)滑行距離為d
則△S=$\frac{{{v_0}{t_0}+（{v_0}{t_0}+d）}}{2}d$
即d²+2v₀t₀d-2△S=0
解之 d=-v₀t₀+$\sqrt{2△S+{{（{v_0}{t_0}）}^2}}$
得x=v₀t₀+d=$\sqrt{2△S+{{（{v_0}{t_0}）}^2}}$=$\sqrt{\frac{{2（2+\sqrt{2}）m{v_0}r}}{{{B^2}_{\;}}}+{{（{v_0}{t_0}）}^2}}$
答：（1）t時刻流過導(dǎo)體棒的電流強(qiáng)度I為$\frac{B{v}_{0}}{（2+\sqrt{2}）r}$，電流方向為b到a．
（2）導(dǎo)體棒作勻速直線運(yùn)動時水平外力F的表達(dá)式為$\frac{{B}^{2}{v}_{0}^{2}t}{（2+\sqrt{2}）r}$．
（3）導(dǎo)體棒在0～t時間內(nèi)產(chǎn)生的焦耳熱為$\frac{{B}^{2}{{v}_{0}}^{3}{t}^{2}}{2（2+\sqrt{2}）^{2}r}$．
（4）導(dǎo)體棒最終在導(dǎo)軌上靜止時的坐標(biāo)x為$\sqrt{\frac{2（2+\sqrt{2}）m{v}_{0}r}{{{B}^{2}}_{\;}}+{（{v}_{0}{t}_{0}）}^{2}}$．

點評 本題綜合考查了切割產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢、閉合電路歐姆定律、牛頓第二定律等知識點，綜合性較強(qiáng)，尤其在第四問，對學(xué)生能力要求較高．