Question

如圖為宇宙中有一個恒星系的示意圖，A為該星系的一顆星，它繞中央恒星O運(yùn)動軌道近似為圓，天文學(xué)家觀測得到A行星運(yùn)動的軌道半徑為R₀，周期為T₀。    
(1)中央恒星O的質(zhì)量是多大?
(2)長期觀測發(fā)現(xiàn)，A行星實(shí)際運(yùn)動的軌道與圓軌道總存在一些偏離，且周期性地每隔t₀時間發(fā)生一次最大的偏離，天文學(xué)家認(rèn)為形成這種現(xiàn)象的原因可能是A行星外側(cè)還存在著一顆未知的行星B(假設(shè)其運(yùn)行軌道與A在同一平面內(nèi)，且與A的繞行方向相同)，它對A行星的萬有引力引起A軌道的偏離．根據(jù)上述現(xiàn)象及假設(shè)，預(yù)測未知行星B繞中央恒星O運(yùn)行軌道半徑有多大?

Answer 1

解：(1)設(shè)中央恒星質(zhì)量為M，A行星質(zhì)量為m，則有    
G=m()R   ①  
解得：M= ②    
(2)由題意可知：A、B相距最近時，B對A的影響最大，且每隔t₀時間相距最近。設(shè)B行星周期為T_B，則有：    
-=1  ③  
解得：T_B=④    
設(shè)B行星的質(zhì)量為m′，運(yùn)動的軌道半徑為R_B，則有    
G=m′()R_B  ⑤      
由①④⑤可得：R_B=R₀ ⑥