Question

17．如圖甲所示，相距很近豎直放置的平行板電容器，A、B兩極板中心各開有一小孔，靠近A極板小孔有一處電子槍F，電子槍能夠持續(xù)均勻地向A、B極板內(nèi)發(fā)射出初速度為v₀電子，電子的質(zhì)量為m、電量為e．在A、B兩板之間加上圖乙所示的交變電壓，其中0＜k＜1，U₀=$\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{6e}$；t=0時A板電勢高于B板電勢．緊靠B板水平放置的C、D極板間的電場電壓也等于U₀，板長為L，兩板間距為d，距C、D極板右端$\frac{L}{2}$處垂直放置很大的熒光屏PQ．不計電子的重力和它們之間的相互作用，電子在電容器AB中的運(yùn)動時間可以忽略不計．
（1）在0-T時間內(nèi)，熒光屏上有兩個位置會發(fā)光，試求這兩個發(fā)光點之間的距離．
（2）只調(diào)整C、D極板的間距（仍以虛線為對稱軸），要使熒光屏上只出現(xiàn)一個光點，極板間距應(yīng)滿足什么要求？
（3）撤去偏轉(zhuǎn)電場和熒光屏，當(dāng)k取恰當(dāng)?shù)臄?shù)值，使在0-kT和kT-T兩段時間內(nèi)發(fā)射的電子束在以后運(yùn)動中的某一時刻全部重疊（不考慮電阻的碰撞），求k值．

Answer 1

分析 （1）對直線加速過程根據(jù)動能定理列式求在0-kT 與kT-T時間內(nèi)射出B板電子的速度；在0-kT時間內(nèi)，根據(jù)動能定理求出電子穿出B板后的速度，在偏轉(zhuǎn)電場中，電子做類平拋運(yùn)動，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動學(xué)公式得到偏轉(zhuǎn)距離．根據(jù)推論：電子射出偏轉(zhuǎn)電場后，好像從“中點射出”，得到打在熒光屏上的坐標(biāo)．再運(yùn)用同樣的方法求出在kT-T 時間內(nèi)，電子打在熒光屏上的坐標(biāo)，即可求得這兩個發(fā)光點之間的距離；
（2）考慮到臨界條件，當(dāng)極板間距為d′時，電子剛從偏轉(zhuǎn)極板邊緣飛出，熒光屏上只出現(xiàn)一個光點，由上題結(jié)果求出極板間距應(yīng)滿足什么要
（3）要求在某一時刻形成均勻分布的一段電子束，前后兩段電子束的長度必須相等，分別得到電子束長度的表達(dá)式，根據(jù)相等關(guān)系即可求得k．

解答 解：（1）電子經(jīng)過電容器內(nèi)的電場后，速度要發(fā)生變化，設(shè)在0-kT時間內(nèi)，穿出B板后速度為ν₁，kT-T 時間內(nèi)射出B 板電子的速度ν₂
據(jù)動能定理有：
-eU₀=$\frac{1}{2}$m${v}_{1}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
 eU₀=$\frac{1}{2}$m${v}_{2}^{2}$-$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$
將U₀=$\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{6e}$代入上式，得：
 ν₁=2$\sqrt{\frac{e{U}_{0}}{m}}$，v₂=2$\sqrt{\frac{2e{U}_{0}}{m}}$
在0-kT時間內(nèi)射出 板電子在偏轉(zhuǎn)電場中，電子的運(yùn)動時間：t₁=$\frac{L}{{v}_{1}}$
側(cè)移量：y₁=$\frac{1}{2}$$a{t}_{1}^{2}$=$\frac{e{U}_{0}{L}^{2}}{2md{v}_{1}^{2}}$
聯(lián)立得：y₁=$\frac{{L}^{2}}{8d}$
打在熒光屏上的坐標(biāo)為 Y₁′=2y₁=$\frac{{L}^{2}}{4d}$
同理可得在kT-T時間內(nèi)設(shè)穿出B板后電子側(cè)移量：
 y₂=$\frac{{L}^{2}}{16d}$
打在熒光屏上的坐標(biāo)：Y₂′=2y₂=$\frac{{L}^{2}}{8d}$
故兩個發(fā)光點之間的距離：
△Y=Y₁′+Y₂′=$\frac{3{L}^{2}}{16d}$
（2）考慮到臨界條件，當(dāng)極板間距為d′時，電子剛從偏轉(zhuǎn)極板邊緣飛出，則有：
  $\frac{1}{2}$d′=$\frac{1}{2}$a′t²，
又 a′=$\frac{q{U}_{0}}{md′}$，
t=$\frac{L}{v}$
整理得：d′²=$\frac{e{U}_{0}{L}^{2}}{m{v}^{2}}$．
對于速度v₁時，有：d₁′=$\sqrt{\frac{e{U}_{0}{L}^{2}}{m{v}_{1}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$L；
對于速度v₂時，有：d₂′=$\sqrt{\frac{e{U}_{0}{L}^{2}}{m{v}_{2}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$L；
只調(diào)整偏轉(zhuǎn)電場極板的間距（仍以虛線為對稱軸），要使熒光屏上只出現(xiàn)一個光點，極板間距應(yīng)滿足：$\frac{1}{2}$L＞d′＞$\frac{\sqrt{2}}{4}$L；
（3）要求在某一時刻形成均勻分布的一段電子束，前后兩段電子束的長度必須相等（且剛好重疊）
第一束長度：l₁=ν₁kT
第二束長度：l₂=ν₂（T-kT）
由l₁=l₂
解得：k=$\frac{\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}$=2-$\sqrt{2}$≈0.59
答：
（1）這兩個發(fā)光點之間的距離為$\frac{3{L}^{2}}{16d}$．
（2）在0-T時間內(nèi)，熒光屏上有兩個位置會發(fā)光，這兩個發(fā)光點之間的距離為$\frac{1}{2}$L＞d′＞$\frac{\sqrt{2}}{4}$L．
（3）撤去偏轉(zhuǎn)電場及熒光屏，當(dāng)k取0.59時，使在0-T時間內(nèi)通過了電容器B板的所有電子，能在某一時刻形成均勻分布的一段電子束．

點評 本題利用帶電粒子在勻強(qiáng)電場中的類平拋運(yùn)動及其相關(guān)知識列方程進(jìn)行解答，關(guān)鍵要分析出臨界條件和隱含的條件．