Question

如圖所示,一內(nèi)壁光滑的圓環(huán)形窄槽固定在水平桌面上,槽內(nèi)彼此間距相等的A、B、C三位置處,分別有靜止的大小相同的彈性小球m₁、m₂、m₃,小球與槽壁剛好接觸.現(xiàn)讓m₁以初速度v₀沿槽順時(shí)針運(yùn)動(dòng).已知三球的質(zhì)量分別為m₁=m、m₂=m₃=2m,小球球心到圓環(huán)中心的距離為R.設(shè)各球之間的碰撞時(shí)間極短,碰撞中沒有能量損失.求:

(1)m₁和m₂相碰后各自的速度大小;

(2)m₃和m₁第一次碰撞的位置;

(3)m₁和m₂第一次相碰后,再經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間,m₁和m₂第二次相碰?

Answer 1

解析:(1)由題知碰撞過(guò)程動(dòng)量守恒,動(dòng)能守恒m₁與m₂碰撞過(guò)程滿足

mv₀=mv₁+2mv₂

mv₀²=mv₁²+2mv₂²

得v₁=-(負(fù)號(hào)表示逆時(shí)針返回),v₂=.

(2)因?yàn)閙₂=m₃=2m,與第(1)問同理可得,m₂運(yùn)動(dòng)到C處與m₃碰后,兩者交換速度,

即v₂′=0,v₃==v₂

所以m₃以的速度順時(shí)針由C向A運(yùn)動(dòng),與m₁逆時(shí)針返回.

因?yàn)関₂=v₃=2v₁,

所以m₃和m₁同時(shí)到達(dá)A點(diǎn)并進(jìn)行碰撞.

(3)m₃與m₁碰撞過(guò)程滿足

2m-m=mv₁′+2mv₃′

2m()²+m()²=mv₁′²+2mv₃′，解之得v₁′=v₀,v₃′=0

(另一組解v₁′=-v₀,v₃′=,這表示互相穿過(guò)去,不可能,所以舍去)即碰后m₃停止,m₁以v₀再次順時(shí)針運(yùn)動(dòng).

m₁和m₂第一次相碰后,返回A點(diǎn)的時(shí)間

m₁與m₃在A處碰后,m₁以v₀返回到C的時(shí)間t₂=2×

從m₁和m₂第一次相碰,到m₁和m₂第二次相碰經(jīng)歷的總時(shí)間t=t₁+t₂=.