Question

中國(guó)計(jì)劃在2017年實(shí)現(xiàn)返回式月球軟著陸器對(duì)月球進(jìn)行科學(xué)探測(cè)，如圖所示，屆時(shí)發(fā)射一顆運(yùn)動(dòng)半徑為r的繞月衛(wèi)星，登月著陸器從繞月衛(wèi)星出發(fā)，沿橢圓軌道降落到月球的表面上，與月球表面經(jīng)多次碰撞和彈跳才停下來(lái)，假設(shè)著陸器第一次彈起的最大高度為h，水平速度為，第二次著陸時(shí)速度為，已知月球半徑為R，著陸器質(zhì)量為m,不計(jì)一切阻力和月球的自轉(zhuǎn)。求：

   （1）月球表面的重力加速度。

   （2）在月球表面發(fā)射一顆月球衛(wèi)星的最小發(fā)射速度是多大？

   （3）設(shè)想軟著陸器完成了對(duì)月球的科學(xué)考察任務(wù)后，再返回繞月衛(wèi)星，返回與衛(wèi)星對(duì)接時(shí),二者具有相同的速度，著陸器在返回過(guò)程中需克服月球引力做功，則著陸器的發(fā)動(dòng)機(jī)應(yīng)對(duì)著陸器做多少功, 才能使著陸器安全返回到繞月衛(wèi)星。

Answer 1

解：

（1）著陸器從高度為h到第二次著陸，由機(jī)械能守恒有：

 

得出月球表面的重力加速度為：

   （2）當(dāng)衛(wèi)星的軌道半徑為月球半徑R時(shí)，發(fā)射速度最小，設(shè)最小速度為v，由萬(wàn)有引力提供向心力有：

        由①②式可得出：  

   （3）著陸器與衛(wèi)星的對(duì)接速度為V3，對(duì)繞月衛(wèi)星由牛頓定律有：

又在月球表面有：

著陸器與衛(wèi)星的對(duì)接時(shí)，發(fā)動(dòng)機(jī)對(duì)著陸器所做的功E，由動(dòng)能定理有：

          

聯(lián)立①④⑤⑥得出：

                  （用表示也給分）