Question

（2011?湖北二模）如圖所示，在xOy坐標(biāo)系中分布著四個(gè)有界場(chǎng)區(qū)，在第三象限的AC左下方存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B₁=0.5T，AC是直線y=-x-0.425（單位：m）在第三象限的部分，另一沿y軸負(fù)向的勻強(qiáng)電場(chǎng)左下邊界也為線段AC的一部分，右邊界為y軸，上邊界是滿足y=-10x²-x-0.025（單位：m）的拋物線的一部分，電場(chǎng)強(qiáng)度E=2.5N/C．在第二象限有一半徑為r=0.1m的圓形磁場(chǎng)區(qū)域，磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂=1T，方向垂直紙面向里，該區(qū)域同時(shí)與x軸、y軸相切，切點(diǎn)分別為D、F．在第一象限的整個(gè)空間存在垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B₃=1T．另有一厚度不計(jì)的擋板PQ垂直紙面放置，其下端坐標(biāo)P（0.1m，0.1m），上端Q在y軸上，且∠PQF=30°．現(xiàn)有大量m=1×10^-6kg，q=-2×10^-4C的粒子（重力不計(jì)）同時(shí)從A點(diǎn)沿x軸負(fù)向以v₀射入，且v₀取0＜v₀＜20m/s之間的一系列連續(xù)值，并假設(shè)任一速度的粒子數(shù)占入射粒子總數(shù)的比例相同．
（1）求所有粒子從第三象限穿越x軸時(shí)的速度；
（2）設(shè)從A點(diǎn)發(fā)出的粒子總數(shù)為N，求最終打在擋板PQ右側(cè)的粒子數(shù)N′．

Answer 1

分析：（1）粒子從A點(diǎn)入射后到達(dá)AC上的G點(diǎn)，因v₀與AC成45°度角，其對(duì)應(yīng)圓心角為90°，即恰好經(jīng)過四分之一圓周，故到達(dá)G點(diǎn)時(shí)速度仍為v₀，方向沿Y軸正向，由動(dòng)能定理及幾何關(guān)系即可求出速度；
（2）因?yàn)閞=0.1m，故離子束射入B₂時(shí)，離子束寬度剛好與2r相等，考察從任一點(diǎn)J進(jìn)入B₂的粒子，設(shè)從H穿出B₂磁場(chǎng)，四邊形JO₂HO₁為菱形，又因?yàn)镴O₂水平，而JO₂∥HO₁，故H應(yīng)與F重合，即所有粒子經(jīng)過B₂后全部從F點(diǎn)離開B₂進(jìn)入B₃磁場(chǎng)．對(duì)v₀趨于20m/s的粒子，圓心角∠JO₂F→180°，故射入B₃時(shí)速度趨于Y軸負(fù)向；對(duì)v₀趨于0的粒子，圓心角∠JO₂F→0°，故射入B₃時(shí)速度趨于Y軸正向，即進(jìn)入B₃的所有粒子速度與Y軸正向夾角在0～180°之間．由圓周運(yùn)動(dòng)的公式和幾何關(guān)系即可求解．

解答：解：

（1）設(shè)某速度為v₀的粒子從A點(diǎn)入射后到達(dá)AC上的G點(diǎn)，因v₀與AC成45°角，其對(duì)應(yīng)圓心角為90°，即恰好經(jīng)過四分之一圓周，故到達(dá)G點(diǎn)時(shí)速度仍為v₀，方向沿Y軸正向．
粒子在電場(chǎng)中沿Y軸正向加速運(yùn)動(dòng)，設(shè)G點(diǎn)坐標(biāo)為G（x，y），剛好穿出電場(chǎng)時(shí)坐標(biāo)為（x，y₁），粒子穿出電場(chǎng)時(shí)速度為v₁，在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的過程中，由動(dòng)能定理得：E|q|(y1-y)=

1

2

mv12-

1

2

mv02
而y1=-10x2-x-0.025
y=-x-0.425
又|q|v0B1=m

v02

|x|

代入數(shù)據(jù)解得v₁=20m/s，可見粒子穿出電場(chǎng)時(shí)速度大小與x無關(guān)．
因v₀＜20m/s，由|q|v0B1=m

v02

R

代入數(shù)據(jù)得：R＜0.2m
由數(shù)學(xué)知識(shí)可知，k點(diǎn)坐標(biāo)為k（-0.2m，-0.225m），故從A點(diǎn)射出的所有粒子均從AK之間以20m/s的速度沿Y軸正向射出電場(chǎng)，在到達(dá)X軸之前粒子作勻速直線運(yùn)動(dòng)，故所有粒子從第三象限穿越X軸時(shí)的速度大小均為20m/s的速度沿Y軸正向．
（2）因?yàn)閞=0.1m，故離子束射入B₂時(shí)，離子束寬度剛好與2r相等，設(shè)粒子在B₂中運(yùn)動(dòng)軌道半徑為R₂，|q|v1B2=m

v12

R2

，解得R₂=r=0.1m
考察從任一點(diǎn)J進(jìn)入B₂的粒子，設(shè)從H穿出B₂磁場(chǎng)，四邊形JO₂HO₁為菱形，又因?yàn)镴O₂水平，而JO₂∥HO₁，故H應(yīng)與F重合，即所有粒子經(jīng)過B₂后全部從F點(diǎn)離開B₂進(jìn)入B₃磁場(chǎng)．
對(duì)v₀趨于20m/s的粒子，圓心角∠JO₂F→180°，故射入B₃時(shí)速度趨于Y軸負(fù)向；對(duì)v₀趨于0的粒子，圓心角∠JO₂F→0°，故射入B₃時(shí)速度趨于Y軸正向，即進(jìn)入B₃的所有粒子速度與Y軸正向夾角在0～180°角之間．
由于B₃=B₂，所以R₃=R₂，由幾何關(guān)系知：
無限靠近Y軸負(fù)向射入的粒子軌跡如圖所示，最終打在PQ板的右側(cè)O₃；
與Y軸負(fù)向成60°角的粒子剛好經(jīng)過P點(diǎn)到達(dá)Q點(diǎn)；
因此與Y軸正向在0～120°角之間從F點(diǎn)射出的粒子要么打在PQ板的左側(cè)，要么打不到板上而穿越Y(jié)軸離開B₃．由于是“大量”粒子，忽略打在P或Q的臨界情況，所以最終打在擋板PQ右側(cè)的粒子數(shù)N′=

π/3

π

N=

N

3

答：（1）所有粒子從第三象限穿越x軸時(shí)的速度為20m/s；（2）設(shè)從A點(diǎn)發(fā)出的粒子總數(shù)為N，最終打在擋板PQ右側(cè)的粒子數(shù)N′為

N

3

．

點(diǎn)評(píng)：該題運(yùn)動(dòng)過程復(fù)雜，對(duì)同學(xué)們的分析能力和數(shù)學(xué)功底要求較高，難度很大，屬于難題．