Question

17．用同種材料制成的質(zhì)量均為M=1kg的形狀不同的滑塊n個(gè)靜止在光滑水平面上，編號(hào)依次為1、2、3…．質(zhì)量為m=0.1kg的子彈（視為質(zhì)點(diǎn)）以水平初速度v₀=200m/s依次擊穿這些滑塊后最終保留在第n個(gè)滑塊中．要求子彈穿過(guò)每個(gè)滑塊的時(shí)間都相等，子彈在兩滑塊間勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間也相等且等于子彈穿過(guò)一塊滑塊的時(shí)間，這必然導(dǎo)致每個(gè)滑塊長(zhǎng)度不同，滑塊間的間距也不同．子彈穿過(guò)滑塊時(shí)受到的水平阻力f=150N并保持恒定．測(cè)得子彈穿過(guò)編號(hào)為1的滑塊后滑塊的速度變?yōu)関=1.5m/s．不考慮子彈在豎直方向上的受力和運(yùn)動(dòng)．（滑塊不翻轉(zhuǎn)，不計(jì)空氣阻力）
（1）求n
（2）用計(jì)算說(shuō)明子彈剛穿過(guò)第N（N＜n）塊滑塊時(shí)，第N-1塊滑塊沒(méi)有追上第N塊滑塊
（3）易知第n塊滑塊與子彈相對(duì)靜止后，第n-1塊滑塊會(huì)追上第n塊滑塊，然后發(fā)生碰撞，已知滑塊間的碰撞為彈性碰撞，求滑塊間碰撞的總次數(shù)（用字母A表示）．要求有必要的計(jì)算過(guò)程和文字說(shuō)明．

Answer 1

分析 分析子彈擊穿第一塊滑塊的過(guò)程，運(yùn)用動(dòng)量守恒定律求解．
第N塊剛被擊穿時(shí)是否被N-1塊追上，取決于二者靜止時(shí)的間距d_N-1是否小于子彈剛接觸N-1到剛擊穿N的過(guò)程N(yùn)-1比N多走的位移，分析子彈的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解比較．子彈打穿前13塊后，1到13各塊的速度均為v，根據(jù)系統(tǒng)動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒列車等式求解．

解答 解：（1）子彈擊穿第一塊滑塊的過(guò)程，規(guī)定向右為正方向，根據(jù)動(dòng)量守恒定律得
mv₀=mv₁+Mv
得v₁=185m/s
由于子彈穿過(guò)每個(gè)滑塊的時(shí)間相等、受到的阻力也相等，所以速度的減少量相等
△v=v₀-v₁=15m/s
n=v₀/△v=40/3，取n=14
（2）第N塊剛被擊穿時(shí)是否被N-1塊追上，取決于二者靜止時(shí)的間距d_N-1是否小于子彈剛接觸N-1到剛擊穿N的過(guò)程N(yùn)-1比N多走的位移．
子彈穿過(guò)一塊滑塊的時(shí)間或在兩滑塊間勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t=$\frac{m△v}{f}$=0.01s
子彈擊穿第N-1塊的過(guò)程中第N-1塊的位移：S_N-1=$\frac{v}{2}$t=0.075m
子彈擊穿N-1后勻速飛行的位移S′_N-1=[v₀-（N-1）△v]t=2-0.15（N-1）m
靜止時(shí)N-1與N的距離d_N-1=S_N-1+S′_N-1=2.075-0.15（N-1）m
當(dāng)N=13時(shí)，d_N-1取最小值是0.275m．
從子彈剛接觸N-1到剛擊穿N的過(guò)程N(yùn)-1比N多走的位移，如圖：

△S=vt=0.015m，
（d_N-1）_min＞△S，所以沒(méi)有追上．
（3）子彈打穿前13塊后，1到13各塊的速度均為v，子彈與第14塊相對(duì)靜止時(shí)共同速度為v_共＜v，13將追上14發(fā)生碰撞，對(duì)碰撞有
Mv+（M+m）v_共=Mv′+（M+m）v′_共
$\frac{1}{2}$Mv²+$\frac{1}{2}$（M+m）${v}_{共}^{2}$=$\frac{1}{2}$Mv′²+$\frac{1}{2}$（M+m）${v′}_{共}^{2}$

得v′=v_共-$\frac{m（v{-v}_{共}）}{2M+m}$ ①
v′_共=v-$\frac{m（v{-v}_{共}）}{2M+m}$ ②
因v′＜v所以12會(huì)追上13發(fā)生碰撞并交換速度，然后11與12、10與11…1與2碰撞并交換速度，這一輪碰撞會(huì)發(fā)生13次．這一輪碰撞完時(shí)，1的速度為v?，2到13的速度為v，14的速度為v?_共．
由②知v?_共＜v所以13會(huì)再次追上14發(fā)生碰撞．碰后14的速度大于v?_共但小于v，13的速度由①知大于v?．然后12與13、11與12…2與3交換速度，2與3交換速度后2的速度大于v?，1的速度小于2的速度，所以這一輪碰撞1號(hào)塊不參與，本輪碰撞共發(fā)生12次．
由以上分析知，碰撞一共會(huì)發(fā)生13輪，每輪碰撞的次數(shù)分別為13、12、11…1，所以總碰撞次數(shù)為
A=$\frac{（13+1）×13}{2}$=91次．
答：（1）n=14；
（2）（d_N-1）_min＞△S，所以沒(méi)有追上；
（3）滑塊間碰撞的總次數(shù)是91次．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求子彈、木塊速度問(wèn)題，分析清楚運(yùn)動(dòng)過(guò)程、正確選擇研究對(duì)象與運(yùn)動(dòng)過(guò)程是解題的前提與關(guān)鍵，應(yīng)用動(dòng)量守恒定律即可正確解題；解題時(shí)要注意正方向的選擇．