Question

1．如圖所示，半徑為R的四分之一圓弧形支架豎直放置，圓弧邊緣C處有一小定滑輪，繩子不可伸長(zhǎng)，不計(jì)一切摩擦，開始時(shí)，m₁、m₂兩球靜止，且m₁＞m₂，
試求：（1）m₁釋放后沿圓弧滑至最低點(diǎn)A時(shí)的速度．
（2）這一過程中細(xì)線對(duì)m₁所做的功．

Answer 1

分析 （1）兩個(gè)滑塊構(gòu)成的系統(tǒng)只有重力勢(shì)能和動(dòng)能相互轉(zhuǎn)化，機(jī)械能守恒；同時(shí)繩子不可伸長(zhǎng)，沿著繩子方向的分速度相等；
（2）由動(dòng)能定理可以求出細(xì)線對(duì)m₁所做的功．

解答 解：（1）設(shè)m₁滑至A點(diǎn)時(shí)的速度為v₁，此時(shí)m₂的速度為v₂，
由機(jī)械能守恒定律得：m₁gR-$\sqrt{2}$m₂gR=$\frac{1}{2}$m₁v₁²+$\frac{1}{2}$m₂v₂²，
又v₂=v₁cos45°，解得：v₁=$\sqrt{\frac{4{m}_{1}gR-4\sqrt{2}{m}_{2}gR}{2{m}_{1}+{m}_{2}}}$．
（2）對(duì)m₁，由動(dòng)能定理得：m₁gR-W=$\frac{1}{2}$m₁v₁²-0，
解得：W=m₁gR-$\frac{2{m}_{1}^{2}gR-2\sqrt{2}{m}_{1}{m}_{2}gR}{2{m}_{1}+{m}_{2}}$；
答：：（1）m₁釋放后沿圓弧滑至最低點(diǎn)A時(shí)的速度為$\sqrt{\frac{4{m}_{1}gR-4\sqrt{2}{m}_{2}gR}{2{m}_{1}+{m}_{2}}}$．
（2）這一過程中細(xì)線對(duì)m₁所做的功為：m₁gR-$\frac{2{m}_{1}^{2}gR-2\sqrt{2}{m}_{1}{m}_{2}gR}{2{m}_{1}+{m}_{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是單個(gè)物體機(jī)械能不守恒，但兩個(gè)物體系統(tǒng)機(jī)械能守恒；同時(shí)要明確通過繩子、輕桿連接的物體，沿著繩子、桿子方向的分速度一定相等．