Question

如圖所示是一個設(shè)計(jì)“過山車”的試驗(yàn)裝置的原理示意圖，斜面AB與豎直面內(nèi)的圓形軌道在B點(diǎn)平滑連接，圓形軌道半徑為R．一個質(zhì)量為m的小車（可視為質(zhì)點(diǎn)）在A點(diǎn)由靜止釋放沿斜面滑下，A點(diǎn)距水平面的高度為4R，當(dāng)它第一次經(jīng)過B點(diǎn)進(jìn)入圓形軌道時(shí)對軌道的壓力為其重力的7倍，小車恰能完成圓周運(yùn)動并第二次經(jīng)過最低點(diǎn)B后沿水平軌道向右運(yùn)動．已知重力加速度為g，斜面軌道與底面的夾角為53⁰．（sin53°=0.8  cos53°=0.6）求：

（1）小車第一次經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)的速度大小v_B；
（2）小車在斜面軌道上所受阻力與其重力之比k；
（3）假設(shè)小車在豎直圓軌道左、右半圓軌道部分克服阻力做的功相等，求小車第二次經(jīng)過豎直圓軌道最低點(diǎn)時(shí)的速度大小v′？

Answer 1

分析：（1）小車第一次經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)，由重力和軌道的支持力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求解速度v_B．
（2）小車從A點(diǎn)到B點(diǎn)的過程，重力做功mg?4R．斜面長為L=

4R

sin53°

=5R，阻力做功-kmg?5R，初動能為零，末動能為

1

2

m

v

2 B

，根據(jù)動能定理求解k．
（3）小車在右半圓軌道上向上運(yùn)動過程中，重力做功-2mgR，阻力做功-W_f．小車在左半圓軌道上向上運(yùn)動過程中，重力做功2mgR，阻力做功-W_f．分別運(yùn)用動能定理對兩個運(yùn)動過程進(jìn)行研究，列方程，求出v′．

解答：解：（1）設(shè)第一次小車運(yùn)動到B點(diǎn)的速度大小為v_B，受到的支持力為N，根據(jù)牛頓第二定律得
      N-mg=m

v 2 B

R

                    
解得  v_B=

6gR

                    
（2）小車從A點(diǎn)到B點(diǎn)的過程，根據(jù)動能定理有
    mg?4R-kmg?5R=

1

2

m

v

2 B

解得k=0.2                       
（3）設(shè)小車在圓軌道最高點(diǎn)的速度為v_C，由重力提供向心力，則有mg=m

v 2 C

R

解得v_c=

gR

                 
設(shè)小車在右半圓軌道上克服阻力做功W_f，對小車從B點(diǎn)運(yùn)動到C的點(diǎn)過程，根據(jù)動能定理有
-mg2R-W_f=

1

2

m

v

2 C

-

1

2

m

v

2 B

解得 W_f=

1

2

mgR          
設(shè)小車第二次經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)的速度為v′，對小車從B點(diǎn)運(yùn)動到C點(diǎn)再回到B點(diǎn)的過程，根據(jù)動能定理有：
-2W_f=

1

2

mv′2-

1

2

m

v

2 B

解得v′=2

gR

答：
（1）小車第一次經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)的速度大小v_B=

6gR

；
（2）小車在斜面軌道上所受阻力與其重力之比k=0.2；
（3）假設(shè)小車在豎直圓軌道左、右半圓軌道部分克服阻力做的功相等，小車第二次經(jīng)過豎直圓軌道最低點(diǎn)時(shí)的速度大小v′=2

gR

．

點(diǎn)評：涉及力在空間的效應(yīng)，要優(yōu)先考慮動能定理．對于圓周運(yùn)動，涉及力的問題，往往根據(jù)向心力進(jìn)行分析處理．難度適中．