Question

如圖所示，P為位于某一高度處的質(zhì)量為m的小物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)），B為位于水平地面上的質(zhì)量為M的特殊長(zhǎng)平板，

m

M

=

1

10

，平板B與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.020．在平板的表面上方，存在一定厚度的“相互作用區(qū)域”，如圖中劃虛線的部分，當(dāng)物塊P進(jìn)入相互作用區(qū)時(shí)，B便有豎直向上的恒力F作用于P，已知F=kmg，k=51，F(xiàn)對(duì)P的作用剛好使P不與B的上表面接觸；在水平方向上P、B之間沒(méi)有相互作用力．已知物塊P開(kāi)始下落的時(shí)刻，平板B向右的速度為v₀=10m/s，P從開(kāi)始下落到剛到達(dá)“相互作用區(qū)域”所經(jīng)歷的時(shí)間為t₀=2.0s．設(shè)B板足夠長(zhǎng)，取重力加速度g=10m/s²，不計(jì)空氣阻力．求：
（1）物塊P從開(kāi)始自由下落到再次回到初始位置所經(jīng)歷的時(shí)間．
（2）在這段時(shí)間內(nèi)B所通過(guò)的位移的大�。�

Answer 1

分析：（1）物塊P在進(jìn)入“相互作用區(qū)域”之前做自由落體運(yùn)動(dòng)，加速度為g，進(jìn)入“相互作用區(qū)域”之后做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律求出加速度．根據(jù)兩個(gè)過(guò)程速度的關(guān)系求解P從進(jìn)入“相互作用區(qū)域”到離木板最近過(guò)程所經(jīng)歷的時(shí)間，根據(jù)對(duì)稱性求出物塊P從開(kāi)始自由下落到再次回到初始位置所經(jīng)歷的時(shí)間．
（2）對(duì)于B的運(yùn)動(dòng)過(guò)程分三段；
①在P從開(kāi)始下落到進(jìn)入“相互作用區(qū)域”的時(shí)間t₀內(nèi)，B物體做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，由速度公式求出末速度．
②在P進(jìn)入到離開(kāi)“相互作用區(qū)域”的過(guò)程，B物體做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，求出末速度．
③在P從離開(kāi)“相互作用區(qū)域”到回到初位置的t₀時(shí)間內(nèi)，B做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，再求出末速度．
根據(jù)三個(gè)過(guò)程的初速度、末速度和時(shí)間，由平均速度和時(shí)間求出總位移．

解答：解：
（1）對(duì)于P，取向下方向?yàn)檎�方向，�?duì)于B取水平向右為正方向．
    物塊P在進(jìn)入“相互作用區(qū)域”之前，P、B的加速度分別是a_P=g，a_B=-μg
    物塊P在進(jìn)入“相互作用區(qū)域”之后，P、B的加速度分別是a_P′=

mg-F

m

=-50g，a_B′=-

μ(Mg+F)

M

=-6.1g
設(shè)P從進(jìn)入“相互作用區(qū)域”到離木板最近過(guò)程所經(jīng)歷的時(shí)間為t，則
   a_Pt₀+a_P′t=0
解得t=0.04s
根據(jù)對(duì)稱性得到物塊P從開(kāi)始自由下落到再次回到初始位置所經(jīng)歷的時(shí)間T=2（t₀+t）=4.08s
（2）在P從開(kāi)始下落到進(jìn)入“相互作用區(qū)域”的時(shí)間t₀內(nèi)，B物體做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，末速度為v₁=v₀+a_Bt₀=10-0.2×2（m/s）=9.6m/s
    在P進(jìn)入到離開(kāi)“相互作用區(qū)域”的2t時(shí)間內(nèi)，B仍做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，速度減到v₂=v₁+2a_Bt=9.5m/s
    在P從離開(kāi)“相互作用區(qū)域”到回到初位置的t0時(shí)間內(nèi)，B做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，末速度為v₃=v₂+a_Bt₀=9.1m/s
所以在這段時(shí)間內(nèi)B所通過(guò)的位移的大小為
    x=

v0+v1

2

t0+

v1+v2

2

?2t+

v2+v3

2

t0=36m．
答：（1）物塊P從開(kāi)始自由下落到再次回到初始位置所經(jīng)歷的時(shí)間是4.08s；
    （2）在這段時(shí)間內(nèi)B所通過(guò)的位移的大小為36m．

點(diǎn)評(píng)：本題考查運(yùn)用牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式分析和解決復(fù)雜動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的能力，關(guān)鍵是分析受力情況和運(yùn)動(dòng)情況．