Question

已知物體從地球上的逃逸速度（第二宇宙速度）v₂=

2GME RE

，其中G、M_E、R_E分別是引力常量、地球的質量和半徑．已知G=6.67×10^-11 N?m²/kg²，c=2.9979×10⁸ m/s．求下列問題：
（1）逃逸速度大于真空中光速的天體叫做黑洞，設某黑洞的質量等于太陽的質量M=1.98×10³⁰ kg，求它的可能最大半徑（這個半徑叫Schwarzchild半徑）
（2）在目前天文觀測范圍內，物質的平均密度為10^-27 kg/m³，如果認為我們的宇宙是這樣一個均勻大球體，其密度使得它的逃逸速度大于光在真空中的速度c，因此任何物體都不能脫離宇宙，問宇宙的半徑至少多大？

Answer 1

分析：（1）任何物體（包括光子）都不能脫離黑洞的束縛，那么黑洞表面脫離的速度應大于光速，根據c≤

2GM  R

即可求解；
（2）根據質量與密度的關系先求出質量，根據（1）的分析即可求解．

解答：解：（1）由題目所提供的信息可知，任何天體均存在其所對應的逃逸速度v₂=

2GM R

，
其中M、R為天體的質量和半徑．
對于黑洞模型來說，其逃逸速度大于真空中的光速，
即v₂＞c，
所以?R＜

2GM

c2

=

2×6.7×10-11×1.98×1030

(2.9979×108)2

m=2.94×10³ m．
故最大半徑為2.94×10³ m．
（2）M=ρ?

4

3

πR³，其中R為宇宙的半徑，ρ為宇宙的密度，
則宇宙所對應的逃逸速度為v₂=

2GM R

，
由于宇宙密度使得其逃逸速度大于光速c，
即v₂＞c，
則R＞

3c2 8πρG

=4.01×10²⁶ m，
合4.24×10¹⁰光年．
即宇宙的半徑至少為4.24×10¹⁰光年．
答：（1）它的可能最大半徑為2.94×10³ m．
（2）宇宙的半徑至少應為4.24×10¹⁰光年．

點評：本題考查了萬有引力定律定律及圓周運動向心力公式的直接應用，要注意任何物體（包括光子）都不能脫離黑洞的束縛，那么黑洞表面脫離的速度應大于光速．