Question

8．用M表示地球的質(zhì)量，R表示地球的半徑，r_月地表示月球到地球的距離，在地球引力作用下：
（1）地面上物體的重力加速度g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$
（2）月球的加速度a_月=$\frac{GM}{{（R{+r}_{月地}）}^{2}}$
（3）已知r_月地=60R，利用（1）（2）求$\frac{{a}_{月}}{g}$=$\frac{1}{3600}$
（4）已知r_月地=3.8×10⁸m，月球繞地球運行的周期T=27.3天，計算月球繞地球運行的向心加速度a_月
（5）已知重力加速度g取9.8m/s²，利用（4）中算出的a_月，求得$\frac{{a}_{月}}{g}$的值
（6）比較（3）（5），你能得出什么結論？

Answer 1

分析 （1）由重力等于萬有引力，計算地面上物體的重力加速度
（2）地月引力提供月球向心力，求解月球的加速度
（3）已知r_月地=60R，利用（1）（2）求$\frac{{a}_{月}}{g}$
（4）由向心加速度計算月球繞地球運行的向心加速度a_月
（5）已知重力加速度g取9.8m/s²，利用（4）中算出的a_月，求得$\frac{{a}_{月}}{g}$的值

解答 解：（1）由重力等于萬有引力，計算地面上物體的重力加速度為：mg=$\frac{GMm}{{R}^{2}}=mg$，
得：g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$
（2）地月引力提供月球向心力，求解月球的加速度：$\frac{GMm}{{（R{+r}_{月地}）}^{2}}={ma}_{月}$，
得：${a}_{月}=\frac{GM}{{（R{+r}_{月地}）}^{2}}$
（3）已知r_月地=60R，則有：$\frac{{a}_{月}}{g}$=$\frac{{R}^{2}}{{（R{+r}_{月地}）}^{2}}=\frac{1}{{61}^{2}}$≈$\frac{1}{3600}$
（4）由向心加速度計算月球繞地球運行的向心加速度為：
${a}_{月}{{=r}_{月地（\frac{2π}{T}）}}^{2}$=3.8${×10}^{8}{×（\frac{2×3.14}{27.3×24×3600}）}^{2}$=0.0027m/s²．
（5）已知重力加速度g取9.8m/s²，利用（4）中算出的a_月，求得：$\frac{{a}_{月}}{g}$=$\frac{0.0027}{9.8}≈\frac{1}{3600}$
（6）比較（3）（5）結論可得，地面上物體的引力與地球吸引月球的力是同一種力，遵守同樣的規(guī)律．
答：（1）地面上物體的重力加速度為$\frac{GM}{{R}^{2}}$
（2）月球的加速度${a}_{月}=\frac{GM}{{（R{+r}_{月地}）}^{2}}$
（3）利用（1）（2）求$\frac{{a}_{月}}{g}$為$\frac{1}{3600}$
（4）月球繞地球運行的向心加速度為：0.0027m/s²．
（5）求得$\frac{{a}_{月}}{g}$的值為$\frac{1}{3600}$
（6）比較（3）（5）結論可得，地面上物體的重力與地球吸引月球的力是同一重力，遵守同樣的規(guī)律．

點評 本題以牛頓的著名的月地檢驗為背景，比較簡單，比較新穎．用到三種途徑求解加速度：重力等于萬有引力，重力加速度；地月引力提供月球向心力，求解月球的加速度；由向心加速度計算月球繞地球運行的向心加速度．