Question

9．如圖所示，OACO為置于水平面內(nèi)的光滑閉合金屬導(dǎo)軌，O、C處分別接有短電阻絲（圖中用粗線表示），R₁=4Ω、R₂=8Ω（導(dǎo)軌其它部分電阻不計）．導(dǎo)軌OAC的形狀滿足y=2sin（$\frac{π}{3}$x）（單位：m）．磁感應(yīng)強度B=0.2T的勻強磁場方向垂直于導(dǎo)軌平面．一足夠長的金屬棒在水平外力F作用下，以恒定的速率v=5.0m/s水平向右在導(dǎo)軌上從O點滑動到C點，棒與導(dǎo)軌接觸良好且始終保持與OC導(dǎo)軌垂直，不計棒的電阻．求：
（1）外力F的最大值；
（2）金屬棒在導(dǎo)軌上運動時電阻絲R₁上消耗的最大功率；
（3）在滑動過程中通過金屬棒的電流I與時間t的關(guān)系．
（4）在滑動過程中R₂上產(chǎn)生的熱量．

Answer 1

分析 （1）金屬棒在導(dǎo)軌上從O點滑動到C點，切割磁感線產(chǎn)生電動勢，有效切割長度y按正弦規(guī)律變化，當(dāng)y最大時，感應(yīng)電流最大，安培力最大，外力F最大．
（2）感應(yīng)電流最大時，電阻絲R₁上消耗的功率最大．
（3）由E=BLv求出感應(yīng)電動勢，由歐姆定律等規(guī)律求出電流．
（4）求出感應(yīng)電動勢的有效值，然后求出電阻產(chǎn)生的熱量．

解答 解：（1）當(dāng)金屬棒滑至A位置時，有效的切割長度最大，為2m，
產(chǎn)生的最大感應(yīng)電動勢：E_m=BL_mv=0.2×2×5=2V，
電路總電阻：R=$\frac{{R}_{1}{R}_{2}}{{R}_{1}+{R}_{2}}$=$\frac{4×8}{4+8}$=$\frac{8}{3}$Ω，
最大感應(yīng)電流：I_m=$\frac{{E}_{m}}{R}$=$\frac{2}{\frac{8}{3}}$=0.75A，
最大安培力：F_安=BI_mL_m=0.2×0.75×2=0.3N，
由平衡條件可知，最大拉力：F=F_安=0.3N；
（2）感應(yīng)電動勢最大時，電阻絲R₁上消耗功率最，
最大功率：P=$\frac{{E}_{m}^{2}}{{R}_{1}}$=$\frac{{2}^{2}}{4}$=1W；
（3）通過金屬棒的電流I與時間t的關(guān)系：
I=$\frac{E}{R}$=$\frac{BLv}{R}$=$\frac{0.2×2sin（\frac{π}{3}x）×5}{\frac{8}{3}}$=0.75sin（$\frac{5π}{3}$t）A；
（4）y=2sin（$\frac{π}{3}$x）則：x=0m，x=3m，
金屬棒的運動時間：t=$\frac{x}{v}$=$\frac{3}{5}$=0.6s，
金屬棒運動過程產(chǎn)生正弦式交變電流，E_m=2V，
電動勢的有效值：E=$\frac{{E}_{m}}{\sqrt{2}}$=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$V，
R₂上產(chǎn)生的熱量：Q=$\frac{{E}^{2}}{{R}_{2}}$t=$\frac{（\sqrt{2}）^{2}}{8}$×0.6=0.15J；
答：（1）外力F的最大值為0.3N；
（2）金屬棒在導(dǎo)軌上運動時電阻絲R₁上消耗的最大功率為1W；
（3）在滑動過程中通過金屬棒的電流I與時間t的關(guān)系為：I=0.75sin（$\frac{5π}{3}$t）A．
（4）在滑動過程中R₂上產(chǎn)生的熱量為0.15J．

點評 本題中導(dǎo)線的有效切割長度隨時間作正弦規(guī)律變化，產(chǎn)生正弦式交變電流，提供了一種產(chǎn)生正弦式交變電流的一種方式．