Question

19．如圖所示，在正交坐標(biāo)系Oxyz中，分布著電場和磁場（圖中未畫出）．在Oyz平面的左方空間內(nèi)存在沿y軸負(fù)方向、磁感應(yīng)強度大小為B的勻強磁場；在Oyz平面右方、Oxz平面上方的空間內(nèi)分布著沿z軸負(fù)方向、磁感應(yīng)強度大小也為B勻強磁場；在Oyz平面右方、Oxz平面下方分布著沿y軸正方向的勻強電場．在t=0時刻，一個微粒的質(zhì)量為m、電荷量為q的微粒從P點靜止釋放，已知P點的坐標(biāo)為（5a，-2a，0），電場強度大小為$\frac{aq{B}^{2}}{4m}$，不計微粒的重力．
求：
（1）微粒第一次到達(dá)x軸的速度大小v和時刻t₁；
（2）微粒第一次到達(dá)y軸的坐標(biāo)和時刻t₂；
（3）假設(shè)在平面Oyz存在一層特殊物質(zhì)，使微粒每次經(jīng)過Oyz平面時，速度大小總變?yōu)樵瓉淼?\frac{1}{2}$，求在時刻t₃=t₂+$\frac{4πm}{qB}$時，電荷所在位置的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）在電場中微粒做勻加速直線運動，根據(jù)動能定理求出微粒第一次到達(dá)x軸的速度大小v，由位移時間公式求解運動的時間．
（2）畫出粒子微粒運動的軌跡．根據(jù)洛倫茲力充當(dāng)向心力，列式求出軌跡半徑，由幾何關(guān)系求微粒第一次到達(dá)y軸的坐標(biāo)．由周期求時間．
（3）粒子運動過程中速度始終與所在位置的磁場垂直，粒子剛好在oyz平面左右空間各運動半個周期后交替運動，粒子速度改變后在磁場中運動的周期不變，根據(jù)分析可知，微粒在oyz平面左方運動的軌跡為兩個半圓和四分之一圓，在oyz平面右方運動的軌跡為兩個半圓，分別穿過oyz平面5次．由幾何知識求電荷的坐標(biāo)．

解答 解：（1）在電場中微粒做勻加速直線運動，由題意E=$\frac{aq{B}^{2}}{4m}$
由動能定理得：qE•2a=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得：v=$\frac{aqB}{m}$
由$\frac{1}{2}•\frac{qE}{m}$${t}_{1}^{2}$=2a
得：t₁=$\frac{4m}{qB}$
（2）當(dāng)微粒在磁場中運動時，軌跡如下圖所示．假設(shè)運動的軌道半徑為R，

有：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
可得 R=a                    
所以微粒到達(dá)y軸的坐標(biāo)為（0，a，0）．
磁場運動的周期 T=$\frac{2πR}{v}$=$\frac{2πm}{qB}$
則運動到達(dá)y軸的時刻 t₂=5t₁+$\frac{5}{4}T$
解得：t₂=$（\frac{40+5π}{2}）$$\frac{m}{qB}$
（3）粒子運動過程中速度始終與所在位置的磁場垂直，粒子剛好在oyz平面左右空間各運動半個周期后交替運動，因為：t₃-t₂=$\frac{9}{4}$T

且粒子速度改變后在磁場中運動的周期不變，根據(jù)分析可知，微粒在oyz平面左方運動的軌跡為兩個半圓和四分之一圓，在oyz平面右方運動的軌跡為兩個半圓．分別穿過oyz平面5次．所以：
x軸坐標(biāo)為：x=-$（\frac{1}{2}）^{5}$a=-$\frac{1}{32}$a
y軸坐標(biāo)為：y=a+$（\frac{1}{2}）^{2}$a×2+$（\frac{1}{2}）^{4}$a×2=$\frac{13}{8}$a
z軸坐標(biāo)為：z=$（\frac{1}{2}）$a×2+$（\frac{1}{2}）^{3}$a×2+$（\frac{1}{2}）^{5}$a=$\frac{41}{32}$a
因此t₃時刻的坐標(biāo)為（-$\frac{1}{32}$a，$\frac{13}{8}$a，$\frac{41}{32}$a）．
答：
（1）微粒第一次到達(dá)x軸的速度大小v為$\frac{aqB}{m}$，時刻t₁為$\frac{4m}{qB}$．
（2）微粒第一次到達(dá)y軸的坐標(biāo)為（0，a，0），時刻t₂為$（\frac{40+5π}{2}）$$\frac{m}{qB}$．
（3）在時刻t₃=t₂+$\frac{4πm}{qB}$時，電荷所在位置的坐標(biāo)為（-$\frac{1}{32}$a，$\frac{13}{8}$a，$\frac{41}{32}$a）．

點評 本題考查了粒子在電磁場、在電場中的運動，關(guān)鍵要分析清楚粒子運動過程，畫出粒子的運動軌跡，要有空間想象能力，并能應(yīng)用動能定理、牛頓第二定律、運動學(xué)公式等力學(xué)規(guī)律解答．