Question

19．2008年9月我國成功發(fā)射“神舟七號”載人航天飛船．如圖為“神舟七號”繞地球飛行時的電視直播畫面，圖中數(shù)據(jù)顯示，飛船距地面的高度約為地球半徑的$\frac{1}{20}$．已知地球半徑為R，地面附近的重力加速度為g，大西洋星距地面的高度約為地球半徑的6倍．設(shè)飛船、大西洋星繞地球均做勻速圓周運動．試求：
（1）飛船的向心加速度和環(huán)繞線速度；
（2）大西洋星繞地球運行的角速度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)地球表面重力與萬有引力相等和萬有引力提供飛船的向心力列式求解飛船的向心加速度和線速度；
（2）根據(jù)地球表面重力與萬有引力相等和萬有引力提供大西洋星的向心力求和大西洋的角速度．

解答 解：在地球表面有：$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mg$可得：GM=gR²
（1）飛船繞地球圓周運動的向心力由萬有引力提供，又知飛船的軌道半徑為：r=$R+\frac{1}{20}R=\frac{21}{20}R$
據(jù)$G\frac{mM}{{r}^{2}}=ma=m\frac{{v}^{2}}{r}$
可得飛船的向心加速度為：a=$\frac{GM}{{r}^{2}}=\frac{g{R}^{2}}{（\frac{21}{20}R）^{2}}$=$（\frac{20}{21}）^{2}g$
飛船的線速度為：$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$=$\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{\frac{21}{20}R}}$=$\sqrt{\frac{20}{21}gR}$
（2）由題意知大西洋星的軌道半徑為：r′=R+6R=7R
大西洋星圓周運動的向心力由萬有引力提供，則有：
$G\frac{mM}{r{′}^{2}}=mr′{ω}^{2}$
所以角速度為：$ω=\sqrt{\frac{GM}{r{′}^{3}}}$=$\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{（7R）^{3}}}$=$\sqrt{\frac{g}{343R}}$
答：（1）飛船的向心加速度為$（\frac{20}{21}）^{2}g$和環(huán)繞線速度為$\sqrt{\frac{20}{21}gR}$；
（2）大西洋星繞地球運行的角速度為$\sqrt{\frac{g}{343R}}$．

點評 解決題的關(guān)鍵是根據(jù)地面重力與萬有引力相等求出黃金代換式，再根據(jù)萬有引力提供圓周運動向心力求解描述圓周運動的物理量．