Question

8．要發(fā)射一顆人造地球衛(wèi)星，使它在半徑為r₂的預(yù)定軌道上繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，為此先將衛(wèi)星發(fā)射到半徑為r₁的近地暫行軌道上繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．如圖所示，在A點(diǎn)，使衛(wèi)星速度瞬時(shí)增加，從而使衛(wèi)星進(jìn)入一個(gè)橢圓的轉(zhuǎn)移軌道上，當(dāng)衛(wèi)星到達(dá)轉(zhuǎn)移軌道的遠(yuǎn)地點(diǎn)B時(shí)，再次瞬時(shí)改變衛(wèi)星速度，使它進(jìn)入預(yù)定軌道運(yùn)行．已知地球表面的重力加速度大小為g，地球的半徑為R，則衛(wèi)星在半徑為r₁的近地暫行軌道上的運(yùn)動(dòng)周期為$T=2π\(zhòng)sqrt{\frac{{{r}_{1}}^{3}}{GM}}$，衛(wèi)星從半徑為r₁的近地暫行軌道上的A點(diǎn)轉(zhuǎn)移到半徑為r₂的預(yù)定軌道上的B點(diǎn)所需時(shí)間為$\frac{π（{r}_{1}+{r}_{2}）}{2R}\sqrt{\frac{{r}_{1}+{r}_{2}}{2g}}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力求解．
（2）根據(jù)衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)圖形和幾何關(guān)系，確定出橢圓軌道的半長(zhǎng)軸a，再利用開(kāi)普勒第三定律求解．

解答 解：（1）衛(wèi)星在近地暫行軌道上運(yùn)行所需要的向心力由萬(wàn)有引力提供$G\frac{Mm}{{{r}_{1}}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}{r}_{1}$，得$T=2π\(zhòng)sqrt{\frac{{{r}_{1}}^{3}}{GM}}$
在地球表面上的物體受到的重力等于萬(wàn)有引力$mg=G\frac{Mm}{{R}^{2}}$，得GM=R²g
所以$T=2π\(zhòng)sqrt{\frac{{{r}_{1}}^{3}}{{R}^{2}g}}$=$\frac{2π{r}_{1}}{R}\sqrt{\frac{{r}_{1}}{g}}$
（2）設(shè)衛(wèi)星預(yù)定軌道半徑為r，當(dāng)衛(wèi)星在轉(zhuǎn)移軌道運(yùn)行，其半長(zhǎng)軸為：a=$\frac{{r}_{1}+{r}_{2}}{2}$
    根據(jù)開(kāi)普勒第三定律得：$\frac{{{r}_{1}}^{3}}{{T}^{2}}=\frac{{a}^{3}}{（2t）^{2}}$
化簡(jiǎn)得$（2t）^{2}=（\frac{\frac{{r}_{1}+{r}_{2}}{2}}{{r}_{1}}）^{3}T$
解得：$t=\frac{{r}_{1}+{r}_{2}}{4{r}_{1}}\sqrt{\frac{{r}_{1}+{r}_{2}}{2{r}_{1}}}•T$
代入T值，得$t=\frac{{r}_{1}+{r}_{2}}{4{r}_{1}}\sqrt{\frac{{r}_{1}+{r}_{2}}{2{r}_{1}}}•\frac{2π{r}_{1}}{R}\sqrt{\frac{{r}_{1}}{g}}$=$\frac{π（{r}_{1}+{r}_{2}）}{2R}\sqrt{\frac{{r}_{1}+{r}_{2}}{2g}}$
故答案為：$T=2π\(zhòng)sqrt{\frac{{{r}_{1}}^{3}}{GM}}$；$\frac{π（{r}_{1}+{r}_{2}）}{2R}\sqrt{\frac{{r}_{1}+{r}_{2}}{2g}}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握萬(wàn)有引力提供向心力和萬(wàn)有引力等于重力兩知識(shí)點(diǎn)，以及會(huì)用開(kāi)普勒第三定律解題．